الرسم البياني للدالة y = W ( x ) {\displaystyle y=W(x)} x < 6 {\displaystyle x<6} y > − 4 {\displaystyle y>-4} y ≥ − 1 {\displaystyle y\geq -1} W 0 {\displaystyle W_{0}} y ≤ − 1 {\displaystyle y\leq -1} W − 1 {\displaystyle W_{-1}} x {\displaystyle x} ( − 1 e , − 1 ) {\displaystyle (-{\frac {1}{e}},-1)} في الرياضيات ، دالة لامبرت W أو دالة أوميغا ، هي دالة متعددة القيم ، والتي تساوي مجموعة فروع الدالة العكسية للدالة f ( w ) = w e w {\displaystyle f(w)=we^{w}} w {\displaystyle w} عدد مركب و e w {\displaystyle e^{w}} الدالة الأسية .
لكل عدد صحيح k {\displaystyle k} W k ( z ) {\displaystyle W_{k}({\text{z}})} W 0 {\displaystyle W_{0}} بالفرع الرئيسي . لهذه الدوال توجد خاصيّة: إذا كان z {\displaystyle {\text{z}}} w {\displaystyle w}
w e w = z {\displaystyle we^{w}=z} يحدث إذا وفقط إذا :
w = W k ( z ) {\displaystyle w=W_{k}({\text{z}})} k {\displaystyle k} y e y = x {\displaystyle ye^{y}=x} لهذه المعادلة حل فقط لكل x ≥ − 1 e {\displaystyle x\geq -{\frac {1}{e}}} y = W 0 ( x ) {\displaystyle y=W_{0}(x)} x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} y = W 0 ( x ) {\displaystyle y=W_{0}(x)} y = W − 1 ( x ) {\displaystyle y=W_{-1}(x)} − 1 e ≤ x < 0 {\displaystyle -{\frac {1}{e}}\leq x<0} التوافقيات ، على سبيل المثال، في عد الأشجار. يمكن استخدامها لحل المعادلات التي تحتوي على أس (على سبيل المثال الحد الأقصى لمعادلة بلانك ، ومعادلة توزيع بوز-آينشتاين ، ومعادلة توزيع فيرمي-ديراك ).
تمت تسمية دالة لامبرت W على اسم عالم الرياضيات يوهان هاينريش لامبرت .
في بعض الأحيان الفرع الرئيسي W 0 {\displaystyle W_{0}} W p {\displaystyle W_{p}} W − 1 {\displaystyle W_{-1}} W m {\displaystyle W_{m}}
في بعض الأحيان تسمى الدالة أيضًا " لوغاريتم المضروب " (product logarithm ) لأنه إذا كانت الدالة العكسية لـ f ( w ) = e w {\displaystyle f(w)=e^{w}} اللوغاريتم ، لذا فمن المنطقي تسمية الدالة العكسية للمضروب w e w {\displaystyle we^{w}}
في الفرع الرئيسي سوف نتلقى W 0 ′ ( 0 ) = 1 {\displaystyle W_{0}'(0)=1}
وفقا لطريقة إيجاد مشتقة دالة مغلقة ، يمكن إثبات أنه بالنسبة لجميع فروع W {\displaystyle W} معادلة تفاضلية عادية :
z ( 1 + W ) d W d z = W ( z ≠ − 1 e ) {\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\ \ \ (z\neq {\frac {-1}{e}})} ( W {\displaystyle W} z = − 1 e {\displaystyle z=-{\frac {1}{e}}}
d W d z = W ( z ) z ( 1 + W ( z ) ) z ∉ { 0 , − 1 e } {\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\ \ \ z\notin \{0,-{\frac {1}{e}}\}} وباستخدام المتطابِقَة e W ( z ) = z W ( z ) {\displaystyle e^{W(z)}={\frac {z}{W(z)}}}
d W d z = 1 z + e W ( z ) ( z ≠ − 1 e ) {\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\ \ \ (z\neq -{\frac {1}{e}})} في الفرع الرئيسي سوف نحصل على W 0 ′ ( 0 ) = 1 {\displaystyle W_{0}'(0)=1}
يمكن تكامل الدالة W ( x ) {\displaystyle W(x)} التكامل من خلال طريقة التعويض : w = W ( x ) ( x = w e w ) {\displaystyle w=W(x)\ \ \ (x=we^{w})}
∫ W ( x ) d x = x W ( x ) − x + e W ( x ) + C = x ( W ( x ) − 1 + 1 W ( x ) ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\\ &=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C\end{aligned}}} المعادلة الثانية هي الأكثر استخداما، ولكنها غير معرفة لـ x = 0 {\displaystyle x=0}
إذا استخدمنا أن W 0 ( e ) = 1 {\displaystyle W_{0}(e)=1}
∫ 0 e W 0 ( x ) d x = e − 1 {\displaystyle \int _{0}^{e}W_{0}(x)dx=e-1}
هناك بعض التكاملات المحدودة المفيدة للفرع الرئيسي من الدالة W للامبرت. مثل:
∫ 0 π W 0 ( 2 cot 2 x ) sec 2 x d x = 4 π {\displaystyle \int _{0}^{\pi }W_{0}(2\cot ^{2}x)\sec ^{2}xdx=4{\sqrt {\pi }}} ∫ 0 ∞ W 0 ( x ) x x d x = 2 2 π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}dx=2{\sqrt {2\pi }}} ∫ 0 ∞ W 0 ( 1 x 2 ) d x = 2 π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)dx=2{\sqrt {\pi }}} يمكن إيجاد المعادلة الأولى عن طريق كتابة التكامل الغوسي في الإحداثيات القطبية.
ويمكن إيجاد المعادلة الثانية باستخدام التعويض u = W 0 ( x ) {\displaystyle u=W_{0}(x)}
∫ W ( x ) x d x = W ( x ) 2 2 + W ( x ) + C {\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}dx={\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}
x = u e u {\displaystyle x=ue^{u}} d x d u = ( u + 1 ) e u {\displaystyle {\frac {dx}{du}}=(u+1)e^{u}} ∫ 0 ∞ W 0 ( x ) x x d x = ∫ 0 ∞ u u e u u e u ( u + 1 ) e u d u = ∫ 0 ∞ u + 1 u e u d u = ∫ 0 ∞ u + 1 u 1 e u d u = ∫ 0 ∞ u 1 2 e − u 2 d u + ∫ 0 ∞ u − 1 2 e − u 2 d u = 2 ∫ 0 ∞ ( 2 w ) 1 2 e − w d w + 2 ∫ 0 ∞ ( 2 w ) − 1 2 e − w d w ( u = 2 w ) = 2 2 ∫ 0 ∞ w 1 2 e − w d w + 2 ∫ 0 ∞ w − 1 2 e − w d w = 2 2 ⋅ Γ ( 3 2 ) + 2 ⋅ Γ ( 1 2 ) = 2 2 ( 1 2 π ) + 2 ( π ) = 2 2 π . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}} المعادلة الثالثة تنبع من المعادلة الثانية مع تعويض u = x − 2 {\displaystyle u=x^{-2}} z = 1 2 tan x {\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {2}}}\tan x}
دالة لامبرت W في المشاريع الشقيقة:
بوابة تحليل رياضي بوابة رياضيات 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f836d0b33ed568739bf7e32a1ded6e95b08c4429)
بوابة تحليل رياضي
بوابة رياضيات
