Equació de Hill

Aquest article tracta sobre una equació diferencial ordinària. Si cerqueu una equació utilitzada a bioquímica, vegeu «Equació de Hill (bioquímica)».

En matemàtiques, l'equació de Hill o equació diferencial de Hill és l'equació diferencial ordinària lineal de segon ordre:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,}$

on ${\displaystyle f(t)}$ és una funció periòdica per període mínim ${\displaystyle \pi }$. Per això, diem que per a tots ${\displaystyle t}$

${\displaystyle f(t+\pi )=f(t),}$

i si ${\displaystyle p}$ és un nombre dins de l'interval ${\displaystyle 0<p<\pi }$, llavors hi ha almenys un interval real ${\displaystyle I}$ de tal manera que ${\displaystyle f(t+p)\neq f(t)}$ per a ${\displaystyle t\in I}$.^[1]

El seu nom prové de George William Hill, que la va introduir el 1886.^[2]

Sempre es pot tornar a escriure ${\displaystyle t}$ de manera que el període de ${\displaystyle f(t)}$ és igual a ${\displaystyle \pi }$; llavors l'equació de Hill es pot reescriure utilitzant la sèrie de Fourier de ${\displaystyle f(t)}$:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0.}$

Alguns casos especials importants de l'equació de Hill inclouen l'equació de Mathieu (en la qual només els termes corresponents a ${\displaystyle n=0,1}$ són inclosos) i l'equació de Meissner.

L'equació de Hill és un exemple important en la comprensió de les equacions diferencials periòdiques. Segons la forma exacta de ${\displaystyle f(t)}$, les solucions poden mantenir-se limitades per tots els temps, o l'amplitud de les oscil·lacions en solucions pot créixer de manera exponencial.^[3] La forma precisa de les solucions de l'equació de Hill es descriu per la teoria de Floquet. Les solucions també es poden escriure en termes de determinants de Hill.

A part de la seva aplicació original a l'estabilitat lunar, l'equació de Hill apareix en molts paràmetres incloent la modelització d'un espectròmetre de masses quadrupolar, com a equació de Schrödinger unidimensional d'un electró en un cristall, òptica quàntica de sistemes de dos nivells, i en física dels acceleradors.

• Guggenheimer, Heinrich. Applicable Geometry. Krieger: Huntington, 1977, p. 73-98. ISBN 0-88275-368-1.  .

• Michiel Hazewinkel (ed.). Hill equation. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric W., «Hill's Differential Equation» a MathWorld (en anglès).
• Wolf, G. Mathieu Functions and Hill's Equation (en anglès). Cambridge: University Press, 2010 (NIST Handbook of Mathematical Functions). ISBN 978-0521192255.