Equació de Marchenko

En física matemàtica, més concretament el problema de dispersió inversa, l'equació de Marchenko (o equació de Gelfand-Levitan-Marchenko o equació de GLM), anomenada així en honor d'Izraïl Gelfand, Boris Levitan i Vladimir Marchenko, es deriva calculant la transformada de Fourier de la relació de difusió:^[1]

${\displaystyle K(r,r^{\prime })+g(r,r^{\prime })+\int _{r}^{\infty }K(r,r^{\prime \prime })g(r^{\prime \prime },r^{\prime })\mathrm {d} r^{\prime \prime }=0}$

on ${\displaystyle g(r,r^{\prime })\,}$és un nucli simètric, tal que ${\displaystyle g(r,r^{\prime })=g(r^{\prime },r),\,}$que es calcula a partir de les dades de difusió. Solucionant l'equació de Marchenko, s'obté el nucli de l'operador de transformació ${\displaystyle K(r,r')}$ a partir del qual es pot llegir el potencial. Aquesta equació deriva de l'equació integral de Gelfand-Levità, mitjançant la representació de Povzner-Levitan.