En la dinàmica de gasos, l'equació de Txapligin, anomenada així per Serguei Alekséievitx Txapliguin (1902), és una equació en derivades parcials útil en l'estudi del flux transònic.[1][2] És
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe8e0f5a6978fcdfd5bb984fc5474e77bea2a24)
on
és la velocitat del so determinada per l'equació d'estat del fluid i la conservació de l'energia.
Derivació
Per al flux potencial bidimensional, les equacions de continuïtat i les equacions d'Euler (de fet, és l'equació comprensible de Bernoulli degut a la irrotacionalitat), en coordenades cartesianes
que involucra les variables velocitat de fluid
, la entalpia específica
i la densitat
és:
amb l'equació d'estat
actuant com a tercera equació, on
es la entalpia d'estancament,
es la magnitud del vector de velocitat, i
és l'entropia.
Per al flux isoentròpic, la densitat pot expressar-se com una funció només de l'entalpia, que al seu torn, usant l'equació de Bernoulli, es pot escriure com
.
Atès que el flux és irrotacional, hi ha un potencial de velocitat
i el seu diferencial és
. En lloc de tractar
y
com a variables dependents, fem servir una transformació de coordenades de tal manera
i
es converteixen en noves variables dependents. De manera similar, el potencial de velocitat és reemplaçat per una nova funció, la transformada de Legendre
![{\displaystyle \Phi =xv_{x}+yv_{y}-\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7ed170455ad980952f9bbdb1302357db35075a)
tal que el seu diferencial és
, per tant
![{\displaystyle x={\frac {\partial \Phi }{\partial v_{x}}},\quad y={\frac {\partial \Phi }{\partial v_{y}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e55f591105c15f8a961a065bd43036252042d4)
Introduint una altra transformació de coordenades per a les variables de
a
d'acord amb la relació
y
, on
és la magnitud del vector de velocitat i
és l'angle que el vector de velocitat fa amb l'eix
, les variables dependents esdevenen
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos \theta {\frac {\partial \Phi }{\partial v}}-{\frac {\sin \theta }{v}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\\y&=\sin \theta {\frac {\partial \Phi }{\partial v}}+{\frac {\cos \theta }{v}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\\\phi &=-\Phi +v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b9fae4bf8d4558c6c861a4b9c8efe1ec1758f3)
L'equació de continuïtat en les noves coordenades es converteix en:
![{\displaystyle {\frac {d(\rho v)}{dv}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial v}}+{\frac {1}{v}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}\right)+\rho v{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae70fcddb03f750739a01a3e514eaa72bde7b0bb)
Per a un flux isentròpic tal que
on
és la velocitat del so. Usant l'equació de Bernoulli s'obté:
![{\displaystyle {\frac {d(\rho v)}{dv}}=\rho \left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976e8580ad15f06c5b151f4f7337d264f6a9474c)
on
. Per tant, tenim:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe8e0f5a6978fcdfd5bb984fc5474e77bea2a24)
Referències
- ↑ Txapliguin, S. A. On gas streams. Complete collection of works.. Izd. Akad. Nauk SSSR, 2, 1902.
- ↑ Landau, Lev D; Lifshitz, Evgeny M. Fluid Mechanics (en anglès). Pergamon Press, 1982.
Bibliografia
- Landau, L.D; Lifschitz, E.M. Lehrbuch der Theoretischen Physik (en alemany). vol IV. Hydrodynamik. Frankfurt am Main: Wissenschaftlicher Verlag Harry Deutsch, 200, p. 563–567. ISBN 978-3-8171-1331-6.
- Lenk, Richard; Gellert, Walter. Brockhaus abc – Physik (en alemany). 2. Leipzig: Brockhaus, 1972, p. 1590.
Vegeu també