Siguin
i
objectes matemàtics qualsevol, tots dos amb estructura lineal, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un altre objecte
amb estructura aritmètica. Típicament
i
són dos
-mòduls, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un anell
, o dos espais vectorials, igualment l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un cos
. Una forma bilineal
és una aplicació
|
del producte cartesià dels objectes
i
a l'objecte
que compleix el requeriment de linealitat a les dues components:
|
|
Notació
Si
és una forma bilineal i
i
, hom sol usar la notació
|
per expressar el valor
de la forma
en la parella
, és a dir,
i, si en el context no hi ha ambigüitat, hom pot prescindir del símbol que nombra la forma
:
|
Els conjunts
|
són els submòduls nuls (subespais nuls) de la forma bilineal. Si
i
aleshores la forma bilineal es diu no degenerada i degenerada en cas contrari. Si la forma és degenerada i
i
són les respectives projeccions canòniques, la forma bilineal
|
|
és no degenerada.
Si
i
és commutatiu, té sentit definir com a forma bilineal simètrica aquella que compleix
|
i com a forma bilineal alternada la que compleix
|
Per a una forma bilineal alternada, si
, tenim
|
que implica
|
En canvi, de l'última igualtat no es pot deduir que
, si no és que la característica de
és diferent de 2: la condició
és, doncs, més restrictiva que la condició
.
Si
i
són mòduls lliures finitament generats, o bé, espais vectorials de dimensió finita i
i
en són bases respectives, una forma bilineal
queda determinada pels
valors
|
Si es disposen aquests
valors en una matriu de
files i
columnes,
|
aleshores el càlcul de
és
|
on
és el transposat de
, és a dir, amb les components escrites en una fila, en lloc de en una columna.
En canvi, si la matriu és de
files i
columnes, és a dir, la matriu transposada de la matriu
, el càlcul és
|
Exemples
L'àrea d'un paral·lelogram
Sigui
l'espai vectorial dels vectors del pla sobre el cos dels nombres reals i sigui
una base d'aquest espai. L'aplicació que fa correspondre a cada parella de vectors l'àrea del paral·lelogram que determinen, mesurada tot prenent l'àrea del paral·lelogram que determinen els vectors de la base
com a unitat de mesura és una forma bilineal
. Com que, a més, un vector qualsevol i ell mateix determinen un paral·lelogram d'àrea zero, es tracta d'una forma bilineal alternada, que no és altra que el determinant de dos vectors de
.
El producte escalar euclidià
El producte escalar en un espai euclidià és una forma bilineal simètrica. En efecte, si escrivim el producte
en la forma
, pròpia de les formes bilineals, les propietats del producte escalar i tenim en compte la commutativitat de
,
|
|
|
obtenim
|
|
|
i és clar que es tracta d'una forma bilineal simètrica.
Còniques i quàdriques
Una quàdrica o superfície quàdrica és una hipersuperfície definida en un espai vectorial n-dimensional pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de n variables:
|
L'estudi i la classificació de cada quàdrica se sol fer a partir de l'estudi de la forma bilineal simètrica de matriu
|
obtinguda a partir dels coeficients dels termes de segon grau de l'equació de la quàdrica en estudi.
Mòduls o espais duals
Si
és un
-mòdul i
és el seu mòdul dual, l'aplicació
|
|
que a la parella
li fa correspondre el valor
de la forma
en l'element
és òbviament una forma bilineal.
Vegeu també