Funció d'Anger

En matemàtiques, la funció d'Anger, introduïda per C. T. Anger (1855), és una funció definida com

J ν ( z ) = 1 π ∫ 0 π cos ⁡ ( ν θ − z sin ⁡ θ ) d θ {\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta }

i està estretament relacionada amb les funcions de Bessel.

La funció de Weber (també coneguda com la funció de Lommel-Weber), introduïda per H. F. Weber (1879), és una funció estretament relacionada definida com

E ν ( z ) = 1 π ∫ 0 π sin ⁡ ( ν θ − z sin ⁡ θ ) d θ {\displaystyle \mathbf {E} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta }

i està estretament relacionada amb les funcions de Bessel del segon tipus.

Relació entre la funció d'Anger i la funció de Weber

Les funcions d'Anger i de Weber estan relacionades amb

sin ⁡ ( π ν ) J ν ( z ) = cos ⁡ ( π ν ) E ν ( z ) − E − ν ( z ) − sin ⁡ ( π ν ) E ν ( z ) = cos ⁡ ( π ν ) J ν ( z ) − J − ν ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)&=\cos(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)-\mathbf {E} _{-\nu }(z)\\-\sin(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)&=\cos(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)-\mathbf {J} _{-\nu }(z)\end{aligned}}}

de manera particular, si ν no és un enter, es poden expressar com a combinacions lineals entre elles. Si ν és un enter, llavors les funcions d'Anger Jν són les mateixes que les funcions de Bessel Jν, i les funcions de Weber es poden expressar com a combinacions lineals finites de funcions de Struve.

Equacions diferencials

Les funcions d'Anger i Weber són solucions de formes no homogènies de l'equació de Bessel.

z 2 y ′ ′ + z y ′ + ( z 2 − ν 2 ) y = 0. {\displaystyle z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=0.}

Més precisament, les funcions d'Anger satisfan l'equació

z 2 y ′ ′ + z y ′ + ( z 2 − ν 2 ) y = ( z − ν ) sin ⁡ ( π ν ) / π , {\displaystyle z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=(z-\nu )\sin(\pi \nu )/\pi ,}

i les funcions de Weber satisfan l'equació

z 2 y ′ ′ + z y ′ + ( z 2 − ν 2 ) y = − ( ( z + ν ) + ( z − ν ) cos ⁡ ( π ν ) ) / π . {\displaystyle z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=-((z+\nu )+(z-\nu )\cos(\pi \nu ))/\pi .}

Referències

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 12". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 498. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
  • Anger, C. T., Neueste Schr. d. Naturf. d. Ges. i. Danzig, 5 (1855) pp. 1–29
  • Paris, R. B. (2010), "Anger-Weber Functions", en Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, MR 2723248
  • Prudnikov, A.P. (2001) [1994], "Anger function", en Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Prudnikov, A.P. (2001) [1994], "Weber function", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Watson, G.N., "A treatise on the theory of Bessel functions", 1–2, Cambridge Univ. Press (1952)
  • Weber, H.F., Zurich Vierteljahresschrift, 24 (1879) pp. 33–76

Vegeu també