En matemàtica, una funció homogènia és una funció que presenta un comportament multiplicador d'escala interessant: si tots els arguments es multipliquen per un factor constant, llavors el valor de la funció resulta ser un cert nombre de vegades el factor multiplicador elevat a una potència. Aquesta potència és el grau de la funció homogènia (vegeu #Definició formal).
Suposem una funció la definició de la qual és
entre dos espais vectorials sobre el mateix cos
. Llavors es diu que
és homogènia de grau k si:
Exemples
Les funcions lineals
Qualsevol funció lineal
és homogènia de grau 1, ja que per definició es té:
per a tot
i
. De la mateixa manera, qualsevol funció multilineal
és homogènia de grau n, per definició.
per a tot
i
. Se segueix que la n-èsima derivada de Fréchet d'una funció
entre dos espais de Banach
i
és homogènia de grau n.
Polinomis homogenis
Els monomis en
variables reals defineixen funcions homogènies
. Per exemple,
és homogènia de grau 10, ja que:
Un polinomi homogeni és un polinomi fet d'una suma de monomis del mateix grau. Per exemple,
és un polinomi homogeni de grau 5.
Propietats
Suposem que una funció és infinitament diferenciable. Llavors f és homogènia de grau k si i només si: . |
- Suposem que
és diferenciable i homogènia de grau k. Llavors les seves derivades parcials de primer ordre
són funcions homogènies de grau k-1.
Les demostracions d'aquests dos resultats són semblants. Per demostrar el segon, s'escriu
i es pren l'equació
Definint
i derivant respecte a
, trobem per la regla de la cadena que:
I per tant:
I finalment:
Aplicació a les EDOs
Si
i
són funcions homogènies del mateix grau, la substitució
converteix l'equació diferencial ordinària (EDO)
en l'equació diferencial separable:
Referències
Bibliografia
- Blatter, Christian. «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». A: Analysis II (2nd ed.) (en alemany). Springer Verlag, 1979, p. 188. ISBN 3-540-09484-9.
Enllaços externs
- Funció homogènia a Planet Math (anglès)
- Michiel Hazewinkel (ed.). Homogeneous function. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.