En matemàtiques, la funció signe és la funció que assigna a cada nombre real el seu signe (+1, -1 o 0). És una funció definida a trossos, que obté el signe de qualsevol nombre real que es prengui com entrada. Es representa generalment mitjançant , i no s'ha de confondre amb la funció sinus o la funció sinus hiperbòlic o .
Definicions
La funció signe té com a domini de definició (el conjuint dels nombres reals) i com a imatge el conjunt .
A partir d'aquí, i per tal d'obtenir la funció signe, trobem entre les definicions possibles les següents.
Tot nombre real es pot expressar com a producte del seu valor absolut i la funció signe avaluada en , és a dir:
La funció signe és la derivada de la funció valor absolut en , és a dir
La funció signe és derivable amb derivada 0 per tot el seu domini excepte en el valor 0. No és derivable en 0 en el sentit ordinari de derivada, però sota una noció més general de derivada dins de la teoria de distribucions, la derivada de la funció signe és dues vegades la funció delta de Dirac,[2] és a dir
on és l'esmentada funcìó delta de Dirac.
La funció signe és el límit de la següent successió de funcions
D'aquesta manera, per tot , el signe d'un nombre complex és el punt del cercle unitat del pla complex més proper a . Per tant, tenim que
on és la funció argument complex.
La tria de en la generalització pels nombres complexos es basa fonamentalment en dotar la funció de coherència amb la seva versió sobre els nombres reals. De no fer-ho, Rich i Jeffrey proposen interpretar com un punt no especificat del cercle unitat del pla complex.[3]
Una altra generalització de la funció signe a és la funció per que es defineix com:[4]
on és la part real de i és la part imaginària de .
Amb aquesta definició tenim les següents propietats:
Coincidència amb la funció signe sobre els reals, és a dir:
.
Distribució signe
En el context de les funcions generalitzades o distribucions, es pot definir la distribució signe tal que , per tant també en (a diferència del que passa amb la funció signe, que pren valor ). La construcció d'aquesta funció signe generalitzada permet la construcció d'una àlgebra de funcions generalitzades, però a costa de perdre la commutativitat. En particular, la funció sigma generalitzada anticommuta amb la funció delta de Dirac:[5]
.
Una altra contrapartida és que no pot avaluar-se en mentre que la funció signe sí, amb .
↑Bracewell, Ronald N. «The Sign Function, sgnx.». A: The Fourier Transform and Its Applications (en anglès). 3a edició. Nova York: McGraw-Hill, 1999, pàgs. 61-62.
↑Rich, A.; Jeffrey, D. «Function Evaluation on Branch Cuts» (en anglès). SIGSAM Bull., No. 116, 25-27, juny 1996.
↑Maple V documentation (en anglès), 21 de maig de 1998.
↑Shirokov, Yuri Mijailovich «Algebra of one-dimensional generalized functions» (en anglès). TMF, 39, 3, 1979, pàgs. 471-477. DOI: 10.1007/BF01017992.