Model de Plummer

El model de Plummer o esfera de Plummer és una llei de densitat usada per primer cop per H. C. Plummer Per observar Cúmuls globulars.^[1] Ara sovint és utilitzat com a model simplificat en Simuladors dinàmics de partícules de sistemes estel·lars.

El perfil de densitat 3D segons Plummer ve donat per

${\displaystyle \rho _{P}(r)={\frac {3M}{4\pi a^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-{\frac {5}{2}}},}$

On M és la massa total del Cúmul, i a és el radi Plummer, un paràmetre d'escala que posa la mida del nucli de grup. El potencial corresponent és

${\displaystyle \Phi _{P}(r)=-{\frac {GM}{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}},}$

On G és la constant de la gravitació de Newton. La dispersió de velocitat és

${\displaystyle \sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM}{6{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}}.}$

La funció de distribució és

${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {24{\sqrt {2}}}{7\pi ^{3}}}{\frac {Na^{2}}{G^{5}M^{5}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},}$

Si ${\displaystyle E<0}$, i${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})=0}$ altrament, on${\displaystyle E({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi _{P}(r)}$ és l'energia específica.

La massa tancada dins dels radis ${\displaystyle R}$ és donada per

${\displaystyle M(r<R)=4\pi \int _{0}^{R}r^{2}\rho _{P}(r)\,dr=M{\frac {R^{3}}{(R^{2}+a^{2})^{3/2}}}.}$

Moltes altres propietats del model Plummer es descriuen a l'article de Herwig Dejonghe.^[2]

Radi de nucli ${\displaystyle r_{c}}$, on les gotes de densitat de la superfície a mig el seu valor central, és a .${\displaystyle r_{c}=a{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.64a}$

Radi de mitja-massa és${\displaystyle r_{h}=\left({\frac {1}{0.5^{2/3}}}-1\right)^{-0.5}a\approx 1.3a.}$

El radi Virial és .${\displaystyle r_{V}={\frac {16}{3\pi }}a\approx 1.7a}$

Els punts de gir radial d'una òrbita caracteritzada per l'energia específica ${\displaystyle E={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (r)}$ i el moment angular específic ${\displaystyle L=|{\vec {r}}\times {\vec {v}}|}$ venen donats per les arrels positives de l'equació cúbica

${\displaystyle R^{3}+{\frac {GM}{E}}R^{2}-\left({\frac {L^{2}}{2E}}+a^{2}\right)R-{\frac {GMa^{2}}{E}}=0,}$

On ${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}$, de manera que${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-a^{2}}}}$. Aquesta equació té tres arrels reals per${\displaystyle R}$ : dos valors positius i un negatiu, donat que${\displaystyle L<L_{c}(E)}$, on ${\displaystyle L_{c}(E)}$ és el moment angular específic per una òrbita circular per la mateixa energia. Aquí ${\displaystyle L_{c}}$ pot ser calculada de l'arrel real simple del discriminant de l'equació cúbica, la qual és una altra equació cúbica

${\displaystyle {\underline {E}}\,{\underline {L}}_{c}^{3}+\left(6{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{2}+{\frac {1}{2}}\right){\underline {L}}_{c}^{2}+\left(12{\underline {E}}^{3}{\underline {a}}^{4}+20{\underline {E}}{\underline {a}}^{2}\right){\underline {L}}_{c}+\left(8{\underline {E}}^{4}{\underline {a}}^{6}-16{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{4}+8{\underline {a}}^{2}\right)=0,}$

A On el parametres subratllats són Adimensionals en unitats Henon definides com ${\displaystyle {\underline {E}}=Er_{V}/(GM)}$, ,${\displaystyle {\underline {L}}_{c}=L_{c}/{\sqrt {GMr_{V}}}}$ i ${\displaystyle {\underline {a}}=a/r_{V}=3\pi /16}$.

El model Plummer ens acosta a representar els perfils de densitat observats de cúmuls estel·lars [cal citació], tot i que la ràpida caiguda de la densitat a radis grans (${\displaystyle \rho \rightarrow r^{-5}}$) no és una descripció bona per a aquests sistemes.

El comportament de la densitat prop del centre no s'assembla a les observacions de galàxies el·líptiques, les quals típicament exhibeixen una densitat central divergent .

La facilitat amb què l'esfera Plummer pot ser abordada com a model Monte-Carlo l'ha fet favorit d'Experiments de física de partícules, malgrat la manca de realisme del model.^[3]