Polinomis d'Appell generalitzats

En matemàtiques, una successió polinòmica ${\displaystyle \{p_{n}(z)\}}$ té una representació generalitzada d'Appell si la funció generadora per a polinomis adopta una forma determinada:

${\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

on la funció generadora o kernel ${\displaystyle K(z,w)}$ es compon de les sèries

${\displaystyle A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}\quad }$ amb ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$

i

${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}\quad }$ i tot ${\displaystyle \Psi _{n}\neq 0}$

i

${\displaystyle g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n}\quad }$ amb ${\displaystyle g_{1}\neq 0.}$

Tenint en compte les qüestions anteriors, no és difícil demostrar que ${\displaystyle p_{n}(z)}$ és un polinomi de grau ${\displaystyle n}$.

Els polinomis de Boas-Buck són una classe de polinomis una mica més general.

• Si escollim ${\displaystyle g(w)=w}$ dona la classe de polinomis de Brenke.
• Si escollim ${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$dona lloc a la successió de polinomis de Sheffer, que inclouen els polinomis per diferències generals, com els polinomis de Newton.
• Si escollim la combinació de ${\displaystyle g(w)=w}$ i ${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$ dona la successió d'Appell de polinomis.

Els polinomis d'Appell generalitzats tenen la representació explícita

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}.}$

La constant és

${\displaystyle h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\cdots g_{j_{k}}}$

on aquesta suma s'estén per totes les composicions de ${\displaystyle n}$ en ${\displaystyle k+1}$ parts; és a dir, la suma s'estén sobre tots ${\displaystyle \{j\}}$ de tal manera que

${\displaystyle j_{0}+j_{1}+\cdots +j_{k}=n.\,}$

Per als polinomis d'Appell, aquesta esdevé la fórmula

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}}{k!}}.}$

De manera equivalent, una condició necessària i suficient per a que el kernel ${\displaystyle K(z,w)}$ es pugui escriure com ${\displaystyle A(w)\Psi (zg(w))}$ amb ${\displaystyle g_{1}=1}$ és que

${\displaystyle {\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z}}}$

on ${\displaystyle b(w)}$ i ${\displaystyle c(w)}$ té la sèrie de potències

${\displaystyle b(w)={\frac {w}{g(w)}}{\frac {d}{dw}}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}}$

i

${\displaystyle c(w)={\frac {1}{A(w)}}{\frac {d}{dw}}A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}.}$

Substituint

${\displaystyle K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

dona immediatament la relació de recurrència

${\displaystyle z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z).}$

Per al cas especial dels polinomis de Brenke, s'obté ${\displaystyle g(w)=w}$ i, per tant, tot això ${\displaystyle b_{n}=0}$, simplificant significativament la relació de recurrència.

• Boas, Ralph P.; Buck, R. Creighton. Polynomial Expansions of Analytic Functions, 1964. 
• Brenke, William C. «On generating functions of polynomial systems» (en anglès). American Mathematical Monthly, 52(6), 1945, pàg. 297–301. DOI: 10.2307/2305289.
• Huff, W. N. «The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t)» (en anglès). Duke Mathematical Journal, 14(4), 1947, pàg. 1091–1104. DOI: 10.1215/S0012-7094-47-01483-X.

• Polinomis q-diferència