Progressió geomètrica
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/Geometric_progression_convergence_diagram.svg/220px-Geometric_progression_convergence_diagram.svg.png)
En matemàtiques una progressió geomètrica és una successió de nombres (anomenats termes) que compleix que el quocient entre qualsevol dos membres successius de la successió és una constant anomenada raó o factor de progressió de la successió.
Una successió geomètrica amb raó i primer terme és
Se sol denotar per al terme que ocupa la posició de la successió. Com que qualsevol terme es pot obtenir a partir de l'element anterior multiplicant-lo per la raó,
Exemples
- La successió 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... té raó i primer terme .
- La successió 729, 486, 324, 216, 144, ... té raó i primer terme .
- La successió 3, -3, 3, -3, ... té raó i primer terme .
Terme general
Es pot calcular qualsevol terme de la successió a partir del primer terme i de la raó mitjançant la següent fórmula anomenada terme general:
Suma de termes consecutius d'una progressió geomètrica
La suma dels primers termes de la successió és
En el cas que , aleshores . Si , aleshores[1]
La suma és Multipliquem ambdós costats per i desenvolupem l'expressió de la dreta: D'on, aïllant , obtenim |
Per exemple, la suma dels 5 primers termes progressió alternada 2, 6, 18, ... (primer terme 2 i raó 3) és 242:
Suma de tots els termes d'una progressió geomètrica
Si el valor absolut de la raó és menor que la unitat, , aleshores la suma dels infinits termes de la progressió convergeix a un nombre finit:[1]
Per exemple, la suma de tots el termes de la progressió 1, 1/5, 1/25, ... és 5/4:
Monotonia
Una progressió geomètrica és monòtona creixent quan cada terme és major o igual que l'anterior (), monòtona decreixent quan cada terme és menor o igual que l'anterior (), constant quan tots els termes són iguals () i alternada quan cada terme té signe contrari que l'anterior (ocorre quan ).[2]
Monotonia en funció del primer terme i de la raó :[3]
creixent | ||
decreixent | ||
decreixent | ||
creixent | ||
constant | ||
alternada |
Vegeu també
Referències
- ↑ 1,0 1,1 W., Weisstein, Eric. «Geometric Series» (en anglès). [Consulta: 15 maig 2020].
- ↑ Sapiña, R. «Problemes resolts de progressions geomètriques» (en castellà). Problemas y ecuaciones. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 15 maig 2020].
- ↑ Llopis, José L. «Successions o progressions geomètriques» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 15 maig 2020].