Punt d'acumulació

Dins l'entorn de topologia, el concepte de punt d'acumulació o punt límit d'un conjunt en un espai captura la noció d'estar infinitament proper al conjunt sense necessàriament pertànyer a ell. Generalitza la noció de límit de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Donat un conjunt ${\displaystyle E}$ i un punt ${\displaystyle p}$ en un espai mètric ${\displaystyle X}$, diem que ${\displaystyle p}$ és un punt d'acumulació per ${\displaystyle E}$ si qualsevol ε-entorn de ${\displaystyle p}$ sense ${\displaystyle p}$ té intersecció no buida amb ${\displaystyle E}$ .

És a dir, hi ha elements de ${\displaystyle E}$ que estan ε-propers ${\displaystyle p}$ i són diferents de ${\displaystyle p}$ mateix (aquesta restricció no apareix quan es tracta de punts d'adherència). En aquesta definició podem veure que ${\displaystyle p}$ pot estar o no en ${\displaystyle E}$.

És possible generalitzar el concepte a espais topològics reemplaçant els ε-veïnatges amb conjunts oberts.

Es denota amb ${\displaystyle E'}$ al conjunt de punts límit de ${\displaystyle E}$ (també anomenat conjunt derivat), i el podem definir d'acord amb:

${\displaystyle E'=\{\ p\ |\ \forall B_{\varepsilon }(p)\,:\,(B_{\varepsilon }(p)\setminus \{p\})\cap E\neq \emptyset \ \}}$

L'interval ${\displaystyle (0,1)}$ té com a punts d'acumulació a l'interval ${\displaystyle [0,1]}$.

Un conjunt finit no té punts d'acumulació, ja que no tindria sentit parlar del concepte "infinitament pròxim".

El conjunt de punts d'acumulació en ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ és igual al ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ja que ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ és dens a ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

${\displaystyle \mathbb {N} }$ no té punt d'acumulació. Per tant, cada punt en ${\displaystyle \mathbb {N} }$ és aïllat.

• Teorema: ${\displaystyle E\,}$ és un conjunt tancat sii ${\displaystyle E'\subset E}$ .

Vàlid en espais mètrics i topològics.

Sigui E un subconjunt qualsevol en un espai topològic, llavors tenim:

Si ${\displaystyle p\in E'}$ llavors hi ha una successió ${\displaystyle \mathbb {N} \to E}$ que convergeix a ${\displaystyle p}$

Podem interpretar això com que per a cada element p de ${\displaystyle \,E'}$, el conjunt derivat de E (així també s'anomena el conjunt dels punts d'acumulació), hi ha elements de E que formen una successió convergent cap a p dins de E , encara que el punt ni tan sols hi estigui comprès.

La demostració d'aquesta proposició és bastant natural.

• Rudin, W. "Principles of Mathematical Analysis". McGraw-Hill, 1976. ISBN 0-07-054235-X
• Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach Jr.. Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, p. 5-6. ISBN 0-387-90312-7. 
• Wolfgang, F. "General Topology". Harrap, 1967, 23.