Quadratura de Clenshaw-Curtis

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

La quadratura de Clenshaw–Curtis i les quadratures de Fejer són mètodes d'integració numèrica basats en l'expansió de l'integrant en termes dels polinomis de Txebixev. Un resum breu de l'algoritme és el següent: la funció ${\displaystyle f(x)}$ que s'ha d'integrar és avaluada als extrems o arrels dels polinomis de Txebixev i aquests valors es fan servir per construir una aproximació polinòmica de la funció; aquesta és integrada exactament per donar una aproximació de la integral exacta que busquem. El càlcul dels pesos d'integració es pot fer mitjançant una DCT, que a través de la FFT es poden obtenir amb ${\displaystyle O(n\log n)}$ operacions.

El mètode consisteix a avaluar la funció en ${\displaystyle n+1}$ nodes determinats, que anomenarem ${\displaystyle x_{j}}$, amb ${\displaystyle j=0,\ldots ,n}$. Llavors, el mètode es pot resumir en la següent equació:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\mathrm {d} x\approx I_{N}[f]=\sum _{i=0}^{n}w_{i}f(x_{i})}$

on els coeficients ${\displaystyle w_{i}}$ cal determinar-los en funció de la distribució dels nodes ${\displaystyle x_{i}}$.

Es poden obtenir fórmules explícites de la quadrature de Clenshaw-Curtis i de Fejer I i II. Tot i que són poc útils a nivell computacional, ja que fan falta ${\displaystyle O(n^{2})}$ operacions per calcular-los, tenen la seva importància teòrica i a nivell didàctic.

Pel cas de la quadratura de Clenshaw-Curtis, els nodes on s'avaluarà la funció són:

${\displaystyle x_{k}=\cos \theta _{k}\equiv \cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right),\quad k=0,\ldots ,n}$

Per altra banda, els pesos d'integració són:

${\displaystyle w_{k}={\frac {c_{k}}{n}}\left(1-\sum _{j=1}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {b_{j}}{4j^{2}-1}}\cos(2j\theta _{k})\right),\quad k=0,\ldots ,n}$

On els coeficients ${\displaystyle b_{j}}$ i ${\displaystyle c_{j}}$ tenen la següent expressió:

${\displaystyle b_{j}=\left\{{\begin{array}{l l}1,&j=n/2\\2,&j<n/2\end{array}}\right.\qquad c_{k}=\left\{{\begin{array}{l l}1,&k=0,n\\2,&\mathrm {altrament} \end{array}}\right.}$