Revestiment topològic

Siguin ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ dos espais topològics: una aplicació contínua surjectiva ${\displaystyle p:Y\rightarrow X}$ és un revestiment topològic si cada punt ${\displaystyle x\in X}$ té un entorn obert ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ tal que la restricció de ${\displaystyle p}$ a cada component connexa ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{e}}$ de ${\displaystyle p^{-1}({\mathcal {U}})}$ és un homeomorfisme de ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{e}}$ sobre ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$.

Recordem que una aplicació contínua ${\displaystyle p:Y\rightarrow X}$ té la propietat de l'elevament de les corbes si, per a cada corba ${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow X}$ e cada ${\displaystyle y\in p^{-1}(\gamma (0))}$ existeix una corba ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\rightarrow Y}$ tal que ${\displaystyle p\circ {\tilde {\gamma }}=\gamma }$ e ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=y}$.

El resultat següent és estàndard: (vegeu per exemple KLA, secció 9.3): Un homeomorfisme local surjectiu entre dos espais topològics és un revestiment topològic si i només si té la propietat de l'elevament de les corbes.

KLA: Klaus Jänich: Topology, Springer Verlag, 1994.