Teorema de Christoffel-Darboux

En matemàtiques, el teorema de Christoffel-Darboux és una identitat per a una seqüència de polinomis ortogonals, introduïts per Christoffel (1858)[1] i Darboux (1878).[2] El teorema diu:

∑ j = 0 n f j ( x ) f j ( y ) h j = k n h n k n + 1 f n ( y ) f n + 1 ( x ) − f n + 1 ( y ) f n ( x ) x − y {\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {f_{j}(x)f_{j}(y)}{h_{j}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{n+1}}}{\frac {f_{n}(y)f_{n+1}(x)-f_{n+1}(y)f_{n}(x)}{x-y}}}

on fj(x) és el j-èsim terme d'un conjunt de polinomis ortogonals de norma quadrada hj i coeficient principal kj.

També hi ha una «forma confluent» d'aquesta identitat:

∑ j = 0 n f j 2 ( x ) h j = k n h n k n + 1 [ f n + 1 ′ ( x ) f n ( x ) − f n ′ ( x ) f n + 1 ( x ) ] . {\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {f_{j}^{2}(x)}{h_{j}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{n+1}}}\left[f_{n+1}'(x)f_{n}(x)-f_{n}'(x)f_{n+1}(x)\right].}

Referències

  1. ↑ Christoffel, E. B. «Über die Gaußische Quadratur und eine Verallgemeinerung derselben.» (en alemany). Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 55, pàg. 61–82. DOI: 10.1515/crll.1858.55.61. ISSN: 0075-4102.
  2. ↑ Darboux, Gaston «Mémoire sur l'approximation des fonctions de très-grands nombres, et sur une classe étendue de développements en série» (en francès). Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 4, 1878, pàg. 5–56, 377–416.

Bibliografia

  • Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan. Special functions (en anglès). 71. Cambridge University Press, 1999 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). ISBN 978-0-521-62321-6. 
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, Inc., New York, 1972, p. 785, Eq. 22.12.1. 
  • Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel W.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. NIST Handbook of Mathematical Functions (en anglès). Cambridge University Press, 2010, p. 438, Eqs. 18.2.12 i 18.2.13. ISBN 978-0-521-14063-8. 

Vegeu també