Teorema de von Staudt-Clausen

En teoria de nombres, el Teorema de von Staudt-Clausen (o Teorema de Staudt-Clausen) diu que:

${\displaystyle B_{2n}=A_{n}-\sum _{p_{k}}{\frac {1}{p_{k}}}\!}$

on ${\displaystyle B_{2n}}$ és un nombre de Bernoulli, ${\displaystyle A_{n}}$ és un nombre enter i els ${\displaystyle p_{k}}$ són els nombres primers que satisfan ${\displaystyle (p_{k}-1)|2n}$, és a dir que ${\displaystyle (p_{k}-1)}$ és divisor de ${\displaystyle 2n}$.

Aquest teorema permet caracteritzar els denominadors de tots els nombres de Bernoulli, que sempre seran un producte de nombres primers (i, per tant, mai quadrats perfectes) i sempre seran divisibles per ${\displaystyle 6}$.

Per exemple, per a ${\displaystyle n=6}$, els nombres primers que compleixen la condició són ${\displaystyle {2,3,5,7,13}}$, ja que ${\displaystyle {1,2,4,6,12}}$ divideixen ${\displaystyle 12}$, és a dir ${\displaystyle 2n}$. Per tant:

${\displaystyle B_{12}=1-\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{13}}\right)=-{\frac {691}{2730}}}$

Per ${\displaystyle n=7}$, per exemple, és més senzill, ja que només els primers ${\displaystyle {2,3}}$ compleixen la condició (de fet ${\displaystyle 2}$ i ${\displaystyle 3}$ la compleixen sempre):

${\displaystyle B_{14}=2-\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)={\frac {7}{6}}}$

El teorema va ser descobert independent i simultàniament pels matemàtics Karl von Staudt i Thomas Clausen el 1840. El teorema va ser redescobert a començaments del segle XX per Ramanujan i es pot demostrar utilitzant els nombres p-àdics.

• von Staudt-Clausen Theorem per Weisstein, Eric W. a MathWorld.