Úplný svaz

Úplný svaz je matematický pojem z oboru teorie uspořádání, který vymezuje mezi uspořádanými množinami ty, které jsou uspořádány „rozumně“ (to znamená, že zachovávají suprema a infima). Na rozdíl od svazu, kde je zachování suprem a infim požadováno pro dvouprvkové podmnožiny, pro úplný svaz je toto požadováno pro libovolné (tedy i nekonečné) podmnožiny.

Množinu ${\displaystyle X\,\!}$ uspořádanou relací ${\displaystyle R\,\!}$ nazveme úplným svazem, pokud pro každou svou podmnožinu obsahuje i její supremum a infimum.
${\displaystyle (\forall Y\subseteq X)(\exists i,s\in X)(i=\inf \nolimits _{R}(Y)\land s=\sup \nolimits _{R}(Y))\,\!}$

Už z názvu je vidět, že každý úplný svaz je zároveň svaz. (Pokud obsahuje supremum a infimum pro každou podmnožinu, pak je obsahuje určitě i pro dvouprvkové podmnožiny – a to je přesně to, o co jde v definici svazu).

Je proto přirozené hledat příklady úplného svazu mezi svazy a ptát se, které z nich jsou úplné.

Potenční algebra (tj. množina všech podmnožin nějaké množiny s uspořádáním relací „být podmnožinou“) je úplný svaz, protože sjednocení je v tomto případě supremem a průnik infimem.
Pokud je tedy ${\displaystyle X=\mathbb {P} (X_{0})\,\!}$ potenční množina a ${\displaystyle Y\subseteq X\,\!}$ je nějakou množinou podmnožin ${\displaystyle X_{0}\,\!}$

• ${\displaystyle inf_{\subseteq }(Y)=\bigcap Y\,\!}$
• ${\displaystyle sup_{\subseteq }(Y)=\bigcup Y\,\!}$

Úplný svaz musí mít největší prvek a nejmenší prvek – musí totiž obsahovat supremum a infimum sebe sama (tj. celé množiny ${\displaystyle X\,\!}$).

Z toho vyplvývá, že například přirozená čísla nebo reálná čísla při běžném uspořádání podle velikosti nemohou být úplný svaz (nemají totiž největší prvek) – jedná se o dva příklady svazu, který není úplným svazem.

O reálných číslech ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$ víme, že se jedná o svaz, navíc jejich omezené množiny mají supremum a infimum. Pokud by se podařilo nějak přidělit supremum a infimum i neomezeným množinám reálných čísel, získali bychom úplný svaz.

Uvažujme o množině, která vznikne z ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$ jejich rozšířením o dva prvky: ${\displaystyle +\infty \,\!}$ je větší, než všechny čísla z ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$ a ${\displaystyle -\infty \,\!}$ je menší, než všechna čísla z ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$. (Díky tranzitivitě uspořádání platí také, že ${\displaystyle -\infty <+\infty \,\!}$ ).

Získali jsme množinu ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}\,\!}$, která již je úplný svaz:

• omezené množiny z ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$ mají supremum a infimum v ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$
• zdola neomezená množina z ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$ má infimum ${\displaystyle -\infty \,\!}$
• shora neomezená množina z ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$ má supremum ${\displaystyle +\infty \,\!}$
• množina obsahující ${\displaystyle -\infty \,\!}$ má infimum ${\displaystyle -\infty \,\!}$
• množina obsahující ${\displaystyle +\infty \,\!}$ má supremum ${\displaystyle +\infty \,\!}$

• Svaz
• Potenční algebra
• Reálná čísla
• Dedekindův řez