Abelova sumace

V matematice je Abelova sumace, pojmenovaná po Nielsi Henriku Abelovi, přepisem n-tého členu posloupnosti na rozdíl dvou po sobě jdoucích členech součtové řady dané touto posloupností.

Definice

Mějme dvě posloupnosti ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} a ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} , kde n=1,2,3,... a definujme A n = ∑ k = 1 n a k {\displaystyle A_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}} .
Tedy a k = A k − A k − 1 {\displaystyle a_{k}=A_{k}-A_{k-1}}

Potom
∑ k = 1 n a k b k = ∑ k = 1 n ( A k − A k − 1 ) b k = {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}(A_{k}-A_{k-1})b_{k}=}

= ∑ k = 1 n A k b k − ∑ k = 1 n A k − 1 b k = ∑ k = 1 n A k b k − ∑ k = 0 n − 1 A k b k + 1 {\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}A_{k}b_{k}-\sum _{k=1}^{n}A_{k-1}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}A_{k}b_{k}-\sum _{k=0}^{n-1}A_{k}b_{k+1}}

A protože A 0 = 0 {\displaystyle A_{0}=0} , tak můžeme druhou sumu indexovat od jedničky.

∑ k = 1 n A k b k − ∑ k = 1 n − 1 A k b k + 1 = ∑ k = 1 n − 1 A k ( b k − b k + 1 ) + A n b n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{k}b_{k}-\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}b_{k+1}=\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})+A_{n}b_{n}}

Což je výsledek.

Použití

Abelovy sumace se používá zejména v matematických důkazech, když potřebujeme upravit součin dvou posloupností. Využíváme jí např. při důkazech kriterií konvergence součtové řady - Dirichletovo a Abelovo kriterium.