Absolutní hodnota je matematický pojem, který souvisí s pojmy velikosti a vzdálenosti. Vyjadřuje vzdálenost obrazu čísla na číselné ose od nuly[1] a značí se dvěma svislými čarami: . Absolutní hodnota čísla je vždy číslo nezáporné, tedy větší nebo rovno nule. Absolutní hodnota z kladného čísla je stejné číslo (; např. ). Absolutní hodnota ze záporného čísla je číslo opačné (; např. ). Absolutní hodnota z nuly je nula.
Zápis || s mezi svislicemi představil Karl Weierstrass v roce 1841.[2] Stejný zápis se užívá taktéž k označení mohutnosti.
Definice a vlastnosti
Reálná čísla
Absolutní hodnota reálného čísla je definována následovně:
Jak je patrné z výše uvedené definice, absolutní hodnota čísla je vždy nezáporné číslo.
Tyto vztahy se často používají pro řešení nerovnic s absolutní hodnotou.
Například:
Absolutní hodnota funkce je funkce označovaná , jejíž funkční hodnoty jsou rovny a která má definiční obor .
Podle definice absolutní hodnoty reálného čísla je:
Funkce s absolutní hodnotou může představovat jakoukoli funkci (lineární, kvadratickou, logaritmickou, goniometrickou atd.). Pokud obsahuje absolutní hodnotu, spadá do množiny funkcí s absolutní hodnotou.[3]
Pro reálná čísla je definována funkce:
Vlastnosti:
;
klesající v intervalu ;
rostoucí v intervalu ;
je zdola omezená, shora omezená není;
v bodě 0 má minimum, nemá maximum;
spojitá ve všech bodech a diferencovatelná ve všech bodech kromě = 0.
Komplexní čísla
Absolutní hodnota komplexního čísla je rovna vzdálenosti bodu, který je obrazem tohoto čísla v Gaussově rovině, od počátku soustavy souřadnic. Všechna komplexní čísla , která mají stejnou absolutní hodnotu, vyplní v Gaussově rovině kružnici se středem v počátku a s poloměrem rovným číslu . Absolutní hodnoty komplexních čísel jsou v Gaussově rovině rovny vzdálenostem obrazů komplexních čísel od počátku soustavy souřadnic.
Absolutní hodnota komplexního čísla, kde a jsou reálná čísla, je definována vztahem: kde
Vlastnosti:
Imaginární část komplexního čísla je rovna nule, pak je absolutní hodnota komplexního rovna absolutní hodnotě reálného čísla .
Pokud je komplexní číslo v exponenciálním (polárním) tvaru jako kde r ≥ 0 a θ náleží reálným číslům absolutní hodnota je .
Základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla (viz 2. až 5. - reálná čísla) lze použít k zobecnění absolutní hodnoty v libovolném prostoru.
Absolutní hodnota reálná funkce v v poli F platí, pokud splňuje tyto čtyři axiomy:
Absolutní hodnotu reálných a komplexních čísel je možno uvést jako příklady absolutních hodnot pro libovolné pole.
Jestliže v je absolutní hodnota F, pak funkce d na F × F, kde d(a, b) = v(a − b), je metrikou a platí následující:
splňuje nerovnost pro všechna
je omezená v
pro každé
pro všechna
pro všechna
Vztah absolutní hodnoty k funkci signum
Pomocí znaménkové funkce signum lze vyjádřit absolutní hodnotu jako
.
Platí také
.
Derivace
Funkce absolutní hodnoty má konstantní derivaci pro x≠0, v bodě x=0 neexistuje:
.
Platí tedy
.
Druhá derivace |x| je nula mimo hodnoty pro x=0, kde neexistuje.
Neurčitý integrál
Neurčitý integrál (primitivní funkce) funkce absolutní hodnoty je:
Vzdálenost
Absolutní hodnota úzce souvisí s myšlenkou vzdálenosti. Jak bylo uvedeno výše, absolutní hodnota reálného nebo komplexního čísla je vzdálenost čísla od počátku (na reálné ose pro reálná čísla, v komplexní rovině pro komplexní čísla). Obecně je absolutní hodnota rozdílu dvou skutečných nebo komplexních čísel vzdálenost mezi nimi.