Cayleyho tabulka
Asociativita | Neutrální prvek | Inverzní prvek | Komutativita | |
---|---|---|---|---|
Abelova grupa | Ano | Ano | Ano | Ano |
Grupa | Ano | Ano | Ano | Ne |
Monoid | Ano | Ano | Ne | Ne |
Pologrupa | Ano | Ne | Ne | Ne |
Lupa | Ne | Ano | Ano | Ne |
Kvazigrupa | Ne | Ne | Ano | Ne |
Grupoid | Ne | Ne | Ne | Ne |
Struktury s jednou binární operací
Cayleyho tabulka je tabulka výsledků binární operace nad konečnou množinou. Ukazuje názorně strukturu dané množiny, používá se tak pro určování, o jakou algebraickou strukturu se jedná. Je pojmenována po britském matematikovi Arthurovi Cayleym.
Cayleyho tabulka pro grupu a násobení je vždy latinským čtvercem.[1]
Vlastnosti
- uzavřenost
- Obsahuje-li tabulka pouze prvky z , množina je uzavřená na dané operaci. Jedná se tedy (minimálně) o konečný grupoid.
- asociativita
- Vzhledem k tomu, že tabulka ukazuje výsledky pouze pro dva prvky z a ne pro více, jak by bylo pro dokázání rovnosti potřeba, nelze z ní samotné přímo určit, zda je daná operace asociativní či ne. Cayleyho tabulka je však základem pro tzv. Lightův test asociativity, který již asociativitu určit dokáže.
- neutrální prvek
- Má-li nějaký prvek svůj řádek shodný s prvním řádkem tabulky a svůj sloupec shodný s prvním sloupcem tabulky, je neutrálním prvkem.
- inverzní prvek
- Vzájemně inverzní prvky a mají v místech průsečíků (řádku se sloupcem a sloupce s řádkem ) uveden neutrální prvek.
- komutativita
- Je-li tabulka osově souměrná podle hlavní diagonály, je daná operace komutativní.
Příklad
Příklad pro grupoid , kde množina , a je operace násobení.
× | −1 | −1 |
---|---|---|
−1 | −1 | −1 |
−1 | −1 | −1 |
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cayley table na anglické Wikipedii.
- ↑ POLÁŠEK, Martin. Latinské a magické čtverce. Brno, 2011 [cit. 2013-10-03]. 64 s. Diplomová práce. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta. Vedoucí práce Eduard Fuchs. s. 24. Dostupné online.
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu Cayleyho tabulka na Wikimedia Commons
Portály: Matematika