Collatzův problém
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/CollatzFractal.png/220px-CollatzFractal.png)
Collatzův problém je v matematice domněnka, kterou vyslovil Lothar Collatz. Tento problém je rovněž známý pod názvy 3n + 1 problém, Ulamův problém (podle Stanisława Ulama), Kakutanův problém (podle Šizua Kakutaniho), Thwaitův problém (podle sira Bryana Thwaitese), Hassův algoritmus (podle Helmuta Hasseho) nebo také jako Syrakuský problém[1][pozn. 1]. Posloupnost takto zkoumaných čísel se někdy nazývá též jako posloupnost ledové kroupy (protože hodnota čísel v posloupnosti často mnohokrát klesne a opět se zvýší, podobně jako ledové kroupy mění svoji výšku, když dochází k jejich tvorbě v oblacích)[3][4].
Domněnka může být shrnuta následovně. Vezměme jakékoliv kladné celé číslo n. Pokud je n sudým číslem, vydělíme je dvěma, získáme tak n / 2. Pokud je n lichým číslem, vynásobí se třemi a přičte se jednička, tj. 3n + 1. Tento postup (v angličtině nazývaný také „Half Or Triple Plus One“ nebo HOTPO[5]) se dále opakuje. Domněnka je taková, že nehledě na to, jaké počáteční číslo n je zvoleno – výsledná posloupnost vždy nakonec dojde k číslu 1.
Definice
Popsaný postup lze vyjádřit funkcí
Hodnota pro lichá bude zjevně sudá. Často se tak používá zkrácená varianta a notace modulární aritmetiky
Problém pak lze popsat pomocí iterací těchto funkcí: Je pro libovolné počáteční kladné celé číslo některá -tá iterace rovna jedné? Formálně: .
Domněnka zatím nebyla dokázána. Byla ale výpočetně ověřena pro všechna čísla až do velikosti 268.[6][7]
Příklad
Orbita pro má 111 kroků (41 skrze lichá čísla) a vypadá následovně.
Iterace vystoupaly z čísla 27 až na 9232, přesto se nakonec vrátily k číslu 1.
- 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 [8]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/96/Collatz5.svg/440px-Collatz5.svg.png)
Heuristický argument
Heuristický argument[9] napovídá, že iterace Collatzovy funkce by v dlouhodobém horizontu neměly růst k nekonečnu, ale měly by se naopak zmenšovat.
Pokud je vstup rovnoměrně rozložený modulo 2, nastávají obě větve stejně často.
Snadno lze ověřit, že jednotlivé iterace funkce se chovají náhodně a nezávisle od iterací minulých. Přesněji, je-li rovnoměrně rozložené modulo 4, pak je rovnoměrně rozložené modulo 2. Pro náhodný vstup tedy nastanou obě větve následující iterace se stejnou pravděpodobností.
Díky tomu lze uvažovat následovně. Pro dostatečně náhodný vstup bude výstup jedné iterace zhruba v první polovině případů a ve druhé polovině případů. Tedy oba případy mají pravděpodobnost 1/2. Přírůstek jedné iterace v lze tedy vyjádřit jako
- .
A protože přírůstek je záporný, lze očekávat, že iterace se budou v dlouhodobém horizontu zmenšovat.
Empirická data
Následující tabulka ukazuje maximální a průměrné délky trajektorií před dosažením jedničky pro počáteční hodnoty do dané velikosti. U maximální délky je uvedena také odpovídající počáteční hodnota.
hodnoty pod | maximální délka | počáteční hodnota | průměrná délka |
---|---|---|---|
Odkazy
Poznámky
- ↑ Název „Syrakuský problém“ navrhl Hasse v 50. letech 20. století při návštěvě na Syracuse University.[2]
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Collatz conjecture na anglické Wikipedii.
- ↑ MADDUX, Cleborne D.; JOHNSON, D. LAMONT. Logo: A Retrospective. New York: Haworth Press, 1997. ISBN 0-7890-0374-0. S. 160. Je zde použita šablona
{{Cite book}}
označená jako k „pouze dočasnému použití“. - ↑ LAGARIAS, Jeffrey C. The 3x + 1 problem and its generalizations. The American Mathematical Monthly. 1985, s. 3–23. JSTOR 2322189. Je zde použita šablona
{{Cite journal}}
označená jako k „pouze dočasnému použití“. - ↑ PICKOVER, Clifford A. Wonders of Numbers. Oxford: Oxford University Press, 2001. ISBN 0-19-513342-0. S. 116–118. Je zde použita šablona
{{Cite book}}
označená jako k „pouze dočasnému použití“. - ↑ Hailstone Number [online]. Wolfram Research. Dostupné online. Je zde použita šablona
{{Cite web}}
označená jako k „pouze dočasnému použití“. - ↑ FRIENDLY, Michael. Advanced Logo: A Language for Learning. Hillsdale NJ: Lawrence Erlbaum Associates, 1988. ISBN 0-89859-933-4. Je zde použita šablona
{{Cite book}}
označená jako k „pouze dočasnému použití“. - ↑ Barina, D. Convergence verification of the Collatz problem. J Supercomput (2020). https://doi.org/10.1007/s11227-020-03368-x
- ↑ https://math.stackexchange.com/a/3316195/204448
- ↑ Posloupnost A008884 v databázi On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- ↑ https://terrytao.wordpress.com/2011/08/25/the-collatz-conjecture-littlewood-offord-theory-and-powers-of-2-and-3/
Literatura
- The Ultimate Challenge: The Problem. Příprava vydání Jeffrey C. Lagarias. [s.l.]: American Mathematical Society, 2010. Dostupné online. ISBN 978-0-8218-4940-8.
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu Collatzův problém na Wikimedia Commons
- 3x+1 problem – v encyklopedii On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Collatz Problem – v encyklopedii MathWorld