Heronův vzorec je vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníku (v eukleidovské rovině) pomocí délek jeho stran.
Pokud 3 kladná čísla splňují trojúhelníkovou nerovnost, existuje v eukleidovské rovině (podle věty sss) až na polohu a orientaci jediný trojúhelník s těmito délkami stran. Takže je jednoznačně určen i jeho obsah a je tedy funkcí stran. Ta musí být obecně symetrická a kvadraticky homogenní a H. v. ukazuje, jak přesně vypadá.
Vzorec
Jsou-li
délky stran trojúhelníka, platí pro jeho obsah
![{\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63739b9b4690f8fb18270af22f431433ee908afe)
kde
je poloviční obvod trojúhelníku.
Důkaz
Heronův vzorec lze odvodit již na základní škole, spočívá na Pythagorově větě. ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/de/Heronuv_vzorec_small.png)
Označme x vzdálenost vrcholu B od paty kolmice z vrcholu A na stranu a (výšky). Pro pravoúhlý trojúhelník na obrázku platí:
![{\displaystyle \ x^{2}+v^{2}=c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/728df9202c6ea0d88ba284dfc37a94215f394947)
![{\displaystyle \ (a-x)^{2}+v^{2}=b^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4be6de56ddde8c9a224404776f1e75e919edc9c8)
Odečteme-li od druhé rovnice první, dostaneme:
![{\displaystyle \ a^{2}-2ax=b^{2}-c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680fa4876ca8fe1473d074473c1914e316224262)
Z tohoto vztahu vyjádříme x:
![{\displaystyle x={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f1b432e13a60a8c25f50651e297f6e2f9c5f69f)
Toto platí i v pravoúhlém trojúhelníku, v tupoúhlém s opačným znaménkem. Jestliže za x dosadíme do první rovnice, získáme výšku v:
![{\displaystyle \ v^{2}=c^{2}-x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b446a0ca76533026e0d0950192ea24463ee14d92)
![{\displaystyle v^{2}=c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89f333557c21e81ef664a6c5781d266e96638f4)
![{\displaystyle v^{2}=c^{2}-{\frac {\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}{4a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/377f83244cdaf9d916fb7b137fa6ed9cdfcbf937)
![{\displaystyle v^{2}={\frac {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}{4a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e17306c300982e99796fd0b846b2cd36b2a6c675)
![{\displaystyle v={\frac {\sqrt {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1340a7e9756c9831d27b80019452f6c6601cee98)
Dosadíme-li tuto výšku do vzorce pro obsah trojúhelníku
![{\displaystyle S={\frac {av}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e99a760bb5e4b6e3003ac1d9031c2b97494fc88)
dostaneme
![{\displaystyle S={\frac {\sqrt {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e9d7375a08012154997f4e8b70d6b2d212f59c)
Dále pomocí rozkladů upravíme výraz pod odmocninou:
![{\displaystyle S={\frac {\sqrt {\left(2ac+a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)\left(2ac-a^{2}-c^{2}+b^{2}\right)}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284357efb919a1a256f1e40b29621f8ca5ee45c2)
![{\displaystyle S={\frac {\sqrt {\left[\left(a+c\right)^{2}-b^{2}\right]\left[b^{2}-\left(a-c\right)^{2}\right]}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969166500f7081e194f0dd52dfd83a1e3bcd549f)
![{\displaystyle S={\frac {\sqrt {\left(a+c+b\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)\left(b-a+c\right)}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57bc9bf840fb227b4aea6f45fe07f0d97f67406)
Dosadíme poloviční obvod s,
![{\displaystyle \ a+b+c=2s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b7e9e49f3f96413f869d25e62d670be8479111)
a dostáváme výsledný vzorec:
![{\displaystyle S={\frac {\sqrt {2s\left(2s-2a\right)\left(2s-2b\right)\left(2s-2c\right)}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/716cc8a4b41525c4dc5a3e25a9f0f8928f043b11)
![{\displaystyle S={\frac {\sqrt {16s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/702204776b167a45198a53aac407a0bb38593128)
![{\displaystyle S={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd7fd10755f9b293cbcdaf75742d8c3fcaaa7a3)
Historie
Vzorec byl formulován Hérónem z Alexandrie a důkaz byl publikován v jeho knize Métrika, napsané v první polovině 1. století.[1]
Poznámky
Kratší důkaz je možný pomocí kosinové věty.
Díky trojúhelníkové nerovnosti jsou všechny činitele odmocněnce H. v. kladné.
Jedná se asi o nejsložitější matematický vzorec základní školy.
Heronův vzorec je limitním případem Brahmaguptova vzorce pro obsah tětivového čtyřúhelníku.
Reference
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html
Související články
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu Heronův vzorec na Wikimedia Commons - důkaz Heronova vzorce
Portály: Matematika