Kvadratická forma je kvadratická funkce na vektorovém prostoru, zúžení (restrikce) bilineární formy.
Kvadratické formy jsou důležitým matematickým pojmem, vyskytují se například v geometrii kvadrik nebo teorii čísel. Užívají se také ve fyzice a např. jako energie systému.
Definice
Nechť
je bilineární forma na vektorovém prostoru
nad tělesem
. Pak funkce
![{\displaystyle f(\mathbf {h} )=\beta ({\textbf {h}},{\textbf {h}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3524ebe51c5ad41a835e2906bb51112e156919)
se nazývá kvadratická forma na
.
Základní vlastnosti
Všechny kvadratické formy jsou homogenní funkce 2. řádu, tzn.
![{\displaystyle f(t{\textbf {h}})=t^{2}f({\textbf {h}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a9e48d14fffeedf9219e1e14a96a45fa697666a)
pro všechna
a
.
Nejběžnější kvadratická forma na prostoru s reálným skalárním součinem je kvadrát normy
![{\displaystyle f({\textbf {h}})={\textbf {h}}\cdot {\textbf {h}}=h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+...+h_{n}^{2}=||{\textbf {h}}||^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb4786a5c072e7167df5acd05beab4d192046f4)
Kvadratickou formu
můžeme v souřadnicích rozepsat jako
![{\displaystyle f(\mathbf {h} )=\sum _{i,j=1}^{d}a_{ij}h_{i}h_{j},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db3d2d75ddff8c7442eddc1fd49394d03d7bd77a)
kde
jsou prvky čtvercové symetrické matice řádu
.
Druhy kvadratických forem
Kvadratická forma
na reálném vektorovém prostoru
se nazývá
- pozitivně definitní, jestliže
platí ![{\displaystyle f({\textbf {h}})>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f8f0a9533ff6cc17f151e30e24a95e0708f802)
- pozitivně semidefinitní, jestliže
platí ![{\displaystyle f({\textbf {h}})\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3119e5f1444db7e421cdbf10645dc209a4857287)
- negativně definitní, jestliže
platí ![{\displaystyle f({\textbf {h}})<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/933abdaa687c51398e200b0181360fde09b136ae)
- negativně semidefinitní, jestliže
platí ![{\displaystyle f({\textbf {h}})\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/434ffa06dba8aad1f5a7a02eb10499978f7853f4)
- indefinitní, jestliže
taková, že
a
.
Literatura
- HAMHALTER, Jan; TIŠER, Jaroslav. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Praha: vydavatelství ČVUT, 1999. ISBN 80-01-01589-0. S. 139.
- BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. Praha: Academia, 2000. ISBN 80-200-0843-8. S. 197.
- MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru. Praha: Karolinum, 2003. ISBN 80-246-0421-3. S. 337.
Související články
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu kvadratická forma na Wikimedia Commons
Portály: Matematika