Tento článek potřebuje úpravy.
Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.
V matematice je metrický tenzor zpravidla tenzorové pole druhého řádu na hladké varietě, které dává do souvislosti souřadnice a vzdálenost. Jinými slovy, zvolíme na tečném bandlu hladké variety tenzorové pole druhého řádu. V daném bodě variety přiřadí toto pole dvěma vektorům z tečného prostoru reálné číslo.
Dosadíme-li dva různé vektory U,V, realizuje tento přepis jejich skalární součin. Dosadíme-li dva stejné vektory V, definujeme tímto přepisem čtverec velikosti vektoru V. Pokud pro každý vektor V a každý bod variety je toto číslo kladné, označujeme metriku jako Riemannovskou. V obecném případě, kdy může čtverec velikosti vektoru vyjít záporný, označujeme metriku jako pseudo-Riemannovskou. Toto je typické např. pro Obecnou teorii relativity.
Dále využíváme souřadnicový zápis vektorů. Kvadrát vzdálenosti dvou bodů je metrickým tenzorem
dán v závislosti na souřadnicích v diferenciálním tvaru předpisem:
,
kde využíváme Einsteinovu sumační konvenci, tedy sčítání přes všechny hodnoty stejných indexů v jednom členu, které mají opačnou polohu. Tento výraz bývá označován jako základní (nebo metrická) forma daného metrického prostoru.
Předpokládejme, že
představují kartézské souřadnice v
-rozměrném eukleidovském prostoru. V takovém případě lze s použitím Einsteinova sumačního pravidla psát
![{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x_{i}\,\mathrm {d} x^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9bad91e12994dca16692bc88ea06ea4cea7082)
Použijeme-li v tomto prostoru křivočaré souřadnice
, tzn.
, lze metrickou formu přepsat na tvar
![{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}={\frac {\partial x_{i}}{\partial \xi ^{j}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial \xi ^{k}}}\mathrm {d} \xi ^{j}\mathrm {d} \xi ^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e1619f75b9947106bfc43cb98daead027bfa04)
Vyjádříme-li metrický tenzor jako
,
pak lze metrickou formu v křivočarých souřadnicích vyjádřit jako
![{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{jk}\mathrm {d} \xi ^{j}\mathrm {d} \xi ^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ecfaec5ac35d8ab47b9bad4deea9930fc6a657)
Např. délku křivky spočteme jako:
![{\displaystyle s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{{\sqrt {g_{ij}{\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x^{j}}{\mathrm {d} t}}}}\mathrm {d} t},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d53850ef1e1b774f28d5937e5917fca37dbbed)
kde
je parametr křivky. Takto se délka křivky zpravidla definuje pouze pokud je člen pod odmocninou podél celé křivky kladný.
Kovariantní tenzor
bývá také vyjadřován jako
,
kde
představují bázi.
Podobně lze pro kontravariantní složky metrického tenzoru psát
![{\displaystyle g^{ij}=(\mathbf {e} ^{i},\mathbf {e} ^{j})={\frac {\partial \xi ^{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial \xi ^{j}}{\partial x_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baec81e7da8c08978bf53a5b678b546cdde8b121)
a pro smíšené složky
,
kde
je Kroneckerovo delta a
jsou prvky sdružených bází.
Výpočet velikostí vektorů, úhlů a vzdáleností
Velikost vektoru je tedy dána vztahem
![{\displaystyle V={\sqrt {g_{ij}V^{i}V^{j}}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8518588a98ea7a7eee02c8addac066c87ae69694)
Úhel dvou vektorů je zpravidla definován pomocí kosinové věty (jelikož kosinus úhlu sevřeného dvěma vektory je podílem skalárního součinu těchto vektorů a součinu velikostí těchto vektorů) přepisem
![{\displaystyle \cos \vartheta ={\frac {g_{ij}V^{i}U^{j}}{{\sqrt {g_{ij}V^{i}V^{j}}}{\sqrt {g_{ij}U^{i}U^{j}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3a60a2e919307cb1e4acb890ea708a0fea5a7d3)
jsou-li výrazy pod odmocninou kladné.
Zvedání a snižování indexů metrickým tenzorem
Metrický tenzor zajišťuje rovněž přechod mezi tečným prostorem a kotečným prostorem variety. (Často se lze setkat s jiným popisem, totiž že metrický tenzor umožňuje transformovat vektorové a tenzorové veličiny mezi kovariantní a kontravariantní bází daného prostoru. Kovariantní a kontravariantní komponenty tenzorů jsou odlišeny polohou indexů značících složky tenzoru. Odtud zvedání a snižování indexů.) To mj. znamená, že se prostřednictvím metrického tenzoru zvedají a snižují indexy vektorů a tenzorů, a to následujícím způsobem:
Definujeme kontravariantní vyjádření metrického tenzoru vztahy
,
kde
je kroneckerovo delta. Složky
známe, kdežto složky
jsou touto soustavou jednoznačně určeny. Potom indexy tenzoru (m+n)-tého řádu
zvyšujeme či snižujeme následujícím způsobem:
![{\displaystyle g^{i_{m+1}i_{k}}{T^{i_{1}\dots i_{m}}}_{i_{1}\dots i_{k-1}i_{k}i_{k+1}\dots i_{n}}={T^{i_{1}\dots i_{m}i_{m+1}}}_{i_{1}\dots i_{k-1}i_{k+1}\dots i_{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb0900309c95ea1ee1b4384850ca1b6f526e6446)
![{\displaystyle g_{i_{n+1}i_{k}}{T^{i_{1}\dots i_{k-1}i_{k}i_{k+1}\dots i_{m}}}_{i_{1}\dots i_{n}}={T^{i_{1}\dots i_{k-1}i_{k+1}\dots i_{m}}}_{i_{1}\dots i_{n}i_{n+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1683825378bc7580efef28af2f3c1144eaeb237b)
Vlastnosti
Metrický tenzor je symetrický, tzn.
![{\displaystyle g_{ij}=g_{ji}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af5b3c4a50b921e32d3a70f990abb2a355a8886a)
![{\displaystyle g^{ij}=g^{ji}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18553565ef5fb99a92f26fdbec003788410d0e2a)
Související články
Portály: Matematika