Potenciálová bariéra je ve fyzice takové rozložení potenciálu, že jeho hodnota je v určité (omezené) oblasti nenulová, přičemž se předpokládá, že je (aspoň přibližně) konstantní, konečná a kladná, zatímco mimo tuto oblast je hodnota potenciálu nulová.
V jednorozměrném případě je možné potenciálovou bariéru vyjádřit potenciálem
![{\displaystyle V=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{ pro }}x<0{\mbox{ a }}x>a\\V_{0}&{\mbox{ pro }}0<x<a\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094e4ef1a04cbc130b33a4ed5f7f808053d90a19)
Potenciálová bariéra umožňuje v kvantové mechanice popsat základní vlastní vlastnosti kvantového tunelování.
Obdobným případem jako potenciálová bariéra je potenciálová jáma, kde je
.
Klasická mechanika
V klasické mechanice je pohyb částic povolený pouze v oblasti, kde je energie
částice menší než hodnota potenciálu.
Pokud se tedy částice s
pohybuje směrem k potenciálové bariéře, potom se může pohybovat pouze mimo oblast
. Do oblasti
taková částice nemůže vstoupit. V klasické mechanice se tedy částice nacházející se v oblasti
nemůže dostat do oblasti
a naopak. Potenciálová bariéra je pro takové částice nepropustnou stěnou, která odděluje obě oblasti
a
.
Částice s
se může pohybovat i v oblasti
a může tedy přes potenciálovou bariéru procházet. Tato klasická částice pohybující se směrem k potenciálové bariéře přes tuto bariéru vždy projde, tzn. nikdy nedojde k jejímu odrazu. K odrazu částice od bariéry dochází pouze v případě
.
Kvantová mechanika
V kvantové mechanice se vlastnosti částice určí řešením odpovídající Schrödingerovy rovnice.
Stacionární Schrödingerovu rovnici vyjádříme zvlášť pro oblast
, oblast
a pro oblast
. V bodech
a
je přitom požadováno, aby vlnová funkce byla spojitá včetně své první derivace.
Schrödingerovy rovnice tedy mají tvar
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi _{I}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi _{I}=0&{\mbox{ pre }}x<0\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi _{II}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}\psi _{II}=0&{\mbox{ pre }}0<x<a\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi _{III}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi _{III}=0&{\mbox{ pre }}x>a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8408e4b39f0bc923e59b22b2288e3e27a4550f5a)
Charakter řešení se liší podle toho, zda celková energie částice
je větší, anebo menší než výška potenciálové bariéry
. Výslednou vlnovou funkci je možné rozdělit na několik částí. Především na dopadající vlnu, která souvisí s volnou částicí pohybující se směrem k potenciálové bariéře ze záporného nekonečna (tedy v oblasti
). Dále můžeme uvažovat, že vlna se po dopadu částečně odrazí a částečně bude procházet do oblasti
. V této oblasti postupuje vlna dále k bodu
, kde prochází druhým potenciálovým skokem, od kterého se opět částečně odráží a částečně projde do oblasti
. V oblasti x < 0 tedy bude výsledná vlna
popsaná superpozicí dopadající vlny pohybující se ve směru
a odražené vlny pohybující se ve směru
. Podobně v oblasti
je možné výslednou vlnu
popsat jako superpozici vln z obou směrů, zatímco v oblasti
je možné najít pouze prošlou vlnu
pohybující se ve směru
.
Případ E>V0
Když zavedeme konstanty
![{\displaystyle k_{I}^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72541fdabafb40c46c38deae7e125462495f93a7)
![{\displaystyle k_{II}^{2}={\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4e8791714bb7ed0c46f7b861020965a1c2540fd)
potom je možné obecné řešení vyjádřit ve tvaru
![{\displaystyle \psi _{I}=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+B\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f4dec5079e4c06e9f4cda3d7c9d59c3289e623e)
![{\displaystyle \psi _{II}=C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{II}x}+D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{II}x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6302d812a072b2cc6ed3cdde313d4f9afe5a698c)
![{\displaystyle \psi _{III}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+G\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1b1e1aff703e182c4b9c9fbd29cd1c89658cbb)
Vzhledem k tomu, že podle předpokladu se částice pohybuje ze záporného nekonečna, bude koeficient u členu popisujícího v oblasti
pohyb směrem k bariéře nulový, tzn.
.
Z podmínky spojitosti vlnové funkce a její první derivace v bodech
a
, tzn. na základě rovností
,
,
a
, dostaneme podmínky umožňující určit koeficienty
, tzn.
![{\displaystyle A+B=C+D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283bb4c3238abfe1f9c7f451a8da47457169acce)
![{\displaystyle \mathrm {i} k_{I}(A-B)=\mathrm {i} k_{II}(C-D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/814adba77d0bd8ec087711708a4a6d83b9dd81da)
![{\displaystyle C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{II}a}+D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{II}a}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0374d42a30b9bc410e4522b0eac988af8259b644)
![{\displaystyle \mathrm {i} k_{II}\left(C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{II}a}-D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{II}a}\right)=\mathrm {i} k_{I}F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ad4b7583c5e5560abb930255c64dc82462d7c1)
Pravděpodobnost průchodu kvantové částice skrz bariéru je možné pro
vyjádřit vztahem
![{\displaystyle T={\left|{\frac {F}{A}}\right|}^{2}={\frac {1}{1+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt {\frac {E}{V_{0}-E}}}+{\sqrt {\frac {V_{0}-E}{E}}}\right)}^{2}\sinh ^{2}{\sqrt {\frac {8m(V_{0}+E)}{\hbar ^{2}}}}a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2378e1b9161eb94c9b948e5a55facc0b0861f0)
Pravděpodobnost odrazu od bariéry se rovná
![{\displaystyle R={\left|{\frac {B}{A}}\right|}^{2}=1-T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d01b0fbbfcd9ec84876f7495652f2bd79816f1)
Pro libovolně široký a vysoký potenciálový val je tato pravděpodobnost nenulová. Tato pravděpodobnost však s rostoucí šířkou valu a rostoucím rozdílem energií
velmi rychle klesá. Z tohoto důvodu je tedy při makroskopických procesech tento jev zanedbatelný a není potřebné ho uvažovat.
Případ E<V0
Když zavedeme konstanty
![{\displaystyle k_{I}^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72541fdabafb40c46c38deae7e125462495f93a7)
![{\displaystyle k_{II}^{2}={\frac {2m(V_{0}-E)}{\hbar ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a81b7bca630fae29f79e8cf6f2f3369de08c491)
potom je obecné řešení možné vyjádřit ve tvaru
![{\displaystyle \psi _{I}=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+B\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f4dec5079e4c06e9f4cda3d7c9d59c3289e623e)
![{\displaystyle \psi _{II}=C\mathrm {e} ^{-k_{II}x}+D\mathrm {e} ^{k_{II}x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d17eee661581bf5141944cc2c57917a8af26a4)
![{\displaystyle \psi _{III}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+G\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1b1e1aff703e182c4b9c9fbd29cd1c89658cbb)
Vzhledem k tomu, že podle předpokladu se částice pohybuje ze záporného nekonečna, bude koeficient členu popisujícího v oblasti
pohyb směrem k bariéře nulový, tzn.
.
Z podmínky spojitosti vlnové funkce a její první derivace v bodech
a
, tzn. na základě rovnosti
,
,
a
, dostaneme podmínky umožňující určit koeficienty
, tzn.
![{\displaystyle A+B=C+D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283bb4c3238abfe1f9c7f451a8da47457169acce)
![{\displaystyle \mathrm {i} k_{I}(A-B)=-k_{II}(C-D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f829ff55a8ce3b8b35f833ae48f8010f04fa9e)
![{\displaystyle C\mathrm {e} ^{-k_{II}a}+D\mathrm {e} ^{k_{II}a}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/608119678e591dc41459af55045810170dfdbe74)
![{\displaystyle -k_{II}\left(C\mathrm {e} ^{-k_{II}a}-D\mathrm {e} ^{k_{II}a}\right)=\mathrm {i} k_{I}F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5b8b8ce1be13f03ffe78bd9648aa3afa40d3f19)
Pravděpodobnost průchodu částice bariérou je možné vyjádřit jako
![{\displaystyle T=={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(k_{II}a)}{4E(V_{0}-E)}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d8243a991d980cc9838fd0acf79dadf99ff725)
Částice dopadající na potenciálový val se tedy podle kvantové mechaniky nemusí vždy odrazit, ale může bariérou s určitou pravděpodobností projít. Průchod částice bariérou je čistě kvantový jev, se kterým se v klasické mechanice nesetkáme. Tento jev se označuje jako tunelový jev anebo kvantové tunelování.
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Potenciálová bariéra na slovenské Wikipedii.
Portály: Fyzika