Rieszova věta o reprezentaci je důležité matematické tvrzení z oboru funkcionální analýzy. Tato věta umožňuje reprezentovat funkcionály na Hilbertově prostoru skalárním součinem s jistým prvkem tohoto prostoru.
Znění
Pro každý spojitý lineární funkcionál
na Hilbertově prostoru
existuje jediný vektor
takový, že:
.
A navíc:
![{\displaystyle \|F\|=\|y\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67737ba84ac09520164e8a6a1c8d8d51ec9a99bb)
Poznámky
Podmínka spojitosti funkcionálu je ekvivalentní s podmínkou omezenosti.
V dovětku je třeba správně rozlišovat druhy norem:
![{\displaystyle \|F\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\|Fx\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b02d5d7181427376fe40d1be6cfa3414fabfd078)
ale
.
Využití
V praxi jsou skalární součiny často definovány nějakým vzorcem s použitím integrálu nebo lineární formou, v takových případech Rieszova věta zaručuje, že funkcionály je možné zapsat obdobným vzorcem. V teorii je Rieszova věta nezbytná pro zavedení sdružených operátorů, které jsou významné samy o sobě. Dále je této věty potřeba při zavádění duálních prostorů, které mají velké využití například v kvantové fyzice.
Důkaz
Nejprve ověříme korektnost tvrzení, tedy že taková reprezentace není v rozporu s linearitou a omezeností a funkcionálu:
![{\displaystyle F(x+z)=\langle x+z,y\rangle =\langle x,y\rangle +\langle z,y\rangle ,F(\lambda x)=\langle \lambda x,y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9032a93332bec5f38b89ffed13d06dab5827c4)
Obdobě omezenost, tu zajišťuje Cauchyho–Schwarzova nerovnost.
![{\displaystyle |Fx|=|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1278f826a128a02ad041de5670f0f845734e62d4)
Nyní dokážeme, že požadovaný vektor musí vždy existovat.
- Pro
je důkaz triviální, předpokládejme tedy dále, že
.
je tedy uzavřený vlastní podprostor
, existuje tedy nenulový vektor
.
- Označme
a ukažme, že
. - Pro
platí:
. - Jelikož
je libovolný a platí
, stačí již jen ukázat, že: ![{\displaystyle Gz=\langle z,{\frac {\overline {Fz}}{\|z\|^{2}}}z\rangle ={\frac {Fz}{\|z\|^{2}}}\langle z,z\rangle =Fz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8254c4defaf24928bf832e1b7634b8c0652323d)
- Můžeme ztotožnit
, takže existence je dokázána.
Jednoznačnost dokážeme sporem:
- Předpokládejme, že existují dva vektory
, takové že: ![{\displaystyle Fx=\langle x,y_{1}\rangle =\langle x,y_{2}\rangle \ \forall x\in {\mathcal {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5a1fc36575edb9e91eda444c89b379327970c03)
- Z toho plyne:
, což je spor s předpokladem.
Zbývá dokázat dovětek:
- Vezměme vektor
, takový, že
, pak platí: ![{\displaystyle |Fx|=\langle x,y\rangle \leq \|x\|\|y\|\leq \|y\|\Rightarrow \|F\|\leq \|y\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/934885e8131834401e81cef4a3227ba147aeb7e9)
- Zároveň však:
![{\displaystyle |F({\frac {y}{\|y\|}})|=|\langle {\frac {y}{\|y\|}},y\rangle |=\|y\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/467aad1216a5160f1037db3b3e1ed707fc19d982)
- Z čehož vyvodíme
. ∎
Portály: Matematika