Steinitzova věta o výměně je důležité tvrzení z oblasti lineární algebry pojmenované po německém matematikovi Ernstu Steinitzovi. Hraje významnou roli v důkazech mnoha dalších tvrzení, například, že všechny báze vektorového prostoru mají stejnou mohutnost, a prostor má tedy jednoznačně určenou dimenzi. Dalším příkladem může být důkaz věty, že pokud má prostor konečnou bázi, pak lze libovolnou lineárně nezávislou množinu doplnit na bázi.
Znění věty
Nechť
a
jsou dvě množiny vektorů z vektorového prostoru
. Nechť jsou dále vektory z množiny
lineárně nezávislé a každý z nich lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z množiny
. Pak platí, že
. Pokud
, tak je lineární obal množiny
nutně roven lineárnímu obalu množiny
. Neboli
. (Výraz
značí lineární obal množiny
atd.). Dále, pokud platí ostrá nerovnost
, tak existují navzájem různé indexy
takové, že
![{\displaystyle \{{\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{m}\}_{\text{lin}}=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n},{\vec {y}}_{i_{1}},\ldots ,{\vec {y}}_{i_{m-n}}\}_{\text{lin}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e170799be12533543738e581e5ab0e09232c13e)
Jinými slovy, mějme množinu
lineárně nezávislých vektorů
a dále množinu
vektorů
. Nechť lze navíc libovolný vektor z množiny
vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z množiny
. Pak platí, že vektorů v množině
nemůže být víc než vektorů v množině
. Pokud jich je stejně, tak se lineární obaly množin
a
rovnají. Pokud je vektorů v množině
více než vektorů v
, tak lze ke generátorům lineárního obalu množiny
přidat vhodných
dodatečných vektorů z množiny
tak, že tyto vektory dohromady generují lineární obal množiny
.
Protože se v daném vektorovém prostoru
můžeme omezit na jeho podprostor
, který je současně vektorový prostor, lze Steinitzovu větu vyjádřit v kratší podobě. Vezměme rovnou
. Pak:
Nechť
je konečněrozměrný vektorový prostor dimenze
a
jeho podmnožina tvořená
lineárně nezávislými vektory. Pak
a prostor
je generován vektory
pro jisté, navzájem různé, indexy
.
Důkaz
Proveďme důkaz neúplnou matematickou indukcí. Předpokládejme nejprve
, poté ukážeme, že předpoklad
vede ke sporu. Pro počáteční krok matematické indukce uvažujme množinu
vzniklou tak, že k vektorům z množiny
přidáme jeden ("první") vektor z množiny
. O vektorech z množiny
ovšem víme, že je lze vyjádřit pomocí vektorů z
a námi sestrojená množina je tak lineárně závislá. Existuje v ní tedy vektor
pro jistý index
, který lze nakombinovat ze zbylých vektorů této množiny. Neboli
![{\displaystyle {\vec {y}}_{i_{1}}\in \{{\vec {x}}_{1},{\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{i_{1}-1},{\vec {y}}_{i_{1}+1},\ldots ,{\vec {y}}_{m}\}_{\text{lin}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22f5a839297ceccb18b41dccc1def5aa603920d8)
kde symbol
značí lineární obal. Ačkoliv nám lineární závislost množiny vektorů zajišťuje, že v ní existuje vektor, který lze nakombinovat pomocí ostatních, mohli jsme s klidem vzít za tento vektor jeden z vektorů množiny
a ne opět vektor
. To, že je množina
lineárně závislá totiž znamená, že existuje netriviální lineární kombinace
rovná nulovému vektoru. Kdyby
a všechny ostatní koeficienty byly nulové, byl by to spor s lineární nezávislostí množiny
Existuje tedy nenulový koeficient
, kde
je jistý index vektoru z
. Tímto koeficientem můžeme dělit a vyjádřit dané
pomocí zbylých vektorů způsobem
![{\displaystyle {\vec {y}}_{i_{1}}={\frac {1}{\alpha _{i_{1}}}}\left(-\alpha _{0}{\vec {x}}_{1}-\sum _{i=1,i\neq i_{1}}^{m}\alpha _{i}{\vec {y}}_{i}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d355d1848e0c5a9ae87d90a73c40e195bfe26fd)
Protože vektor
lze nakombinovat z vektorů z
, je
. Obdobně pro
a máme tedy
![{\displaystyle \{Y\}_{\text{lin}}=\{{\vec {x}}_{1},{\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{i_{1}-1},{\vec {y}}_{i_{1}+1},\ldots ,{\vec {y}}_{m}\}_{\text{lin}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52a862941859f6cb83004dd29a512423a7cbbaf)
viz (druhé) tvrzení v oddíle Ostatní v článku Lineární obal. Přikročme nyní k důkazu indukčního kroku. Předpokládejme, že pro všechna přirozená
, kde
, existují navzájem různé indexy
tak, že
![{\displaystyle \{Y\}_{\text{lin}}=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k},{\vec {y}}_{i_{1}},\ldots ,{\vec {y}}_{i_{m-k}}\}_{\text{lin}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be75a7fff393469084f660b5daa47f69ab91c3eb)
Neboť z předpokladů věty platí, že
, je množina
lineárně závislá, přičemž množina
je lineárně nezávislá. V první jmenované množině tedy existuje vektor
pro jisté
(kde
), který lze vyjádřit pomocí zbylých vektorů. Postupem obdobným tomu pro
dospíváme k rovnosti
![{\displaystyle \{Y\}_{\text{lin}}=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k},{\vec {x}}_{k+1},{\vec {y}}_{i_{1}},\ldots ,{\vec {y}}_{i_{p}-1},{\vec {y}}_{i_{p}+1},\ldots ,{\vec {y}}_{i_{m-k}}\}_{\text{lin}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b59a4ac6afd295c5eaa05b5422398242b34e34)
Přeznačíme-li indexy u vektorů v předchozím vzorci, dostáváme vztah
![{\displaystyle \{Y\}_{\text{lin}}=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k},{\vec {x}}_{k+1},{\vec {y}}_{j_{1}},\ldots ,{\vec {y}}_{j_{m-k-1}}\}_{\text{lin}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/931b3e4aff9f74350993eb720d3f2ef161326fd3)
který dokončuje indukční krok. Pro případ
máme tedy větu dokázánu. Předpokládejme nyní, že
. Kdybychom postupovali postupem stejným jako výše, tak bychom se dostali postupným přidáváním vektorů k původnímu lineárnímu obalu do stavu, kdy chceme přidat vektor
, nemáme už ale žádný zbylý vektor z
, za který bychom ho mohli vyměnit. Neboli bychom měli
![{\displaystyle \{Y\}_{\text{lin}}=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{m}\}_{\text{lin}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c1b0d16a6f2c6f4079dc8eccac2f4b2356ce60e)
Z předpokladů věty ale
a podle rovnosti výše můžeme tento vektor vyjádřit pomocí zbylých vektorů z množiny
. To je ale spor s lineární nezávislostí množiny
, což dokončuje důkaz věty.
Aplikace věty
Jako příklad užití Steinitzovy věty si dokažme následující tvrzení:
Každou lineárně nezávislou podmnožinu konečně rozměrného vektorového prostoru lze doplnit na bázi tohoto prostoru.
Mějme tedy vektorový prostor
konečné (nenulové) dimenze
. Existuje v něm tedy
-členná báze, označme si ji
. Dále mějme podmnožinu prostoru
, kterou si označíme
, tvořenou
lineárně nezávislými vektory. Steinitzova věta nám říká, že
, a navíc, že existují navzájem různé indexy
tak, že
![{\displaystyle V=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n},{\vec {y}}_{i_{1}},\ldots ,{\vec {y}}_{i_{m-n}}\}_{\text{lin}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b50e0a265a4b5142b6c2cdb4b5764b1e99dcb3)
Abychom dokončili důkaz, musíme ještě ukázat, že soubor vektorů
je lineárně nezávislý. Kdyby ale byl lineárně závislý, tak z něj můžeme vybrat lineárně nezávislou podmnožinu generující prostor
. Tato množina by měla nejvýše
prvků, což je ve sporu s tím, že dimenze prostoru
je
.
Literatura
- PYTLÍČEK, Jiří. Lineární algebra a geometrie. Praha: Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2008. ISBN 978-80-01-04063-8. – skripta FJFI ČVUT
Související články