Äquivalenzsatz von Wagner

Der Äquivalenzsatz von Wagner, auch als Äquivalenzsatz von K. Wagner oder als wagnerscher Äquivalenzsatz bezeichnet, ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologischen Graphentheorie, welcher im Jahre 1937 von dem Mathematiker Klaus Wagner veröffentlicht wurde. Er stellt eine Verbindung zwischen der Hadwiger-Vermutung und dem Vierfarbenproblem her.

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:^[1][2]

Der Vierfarbensatz ist mit der Hadwiger-Vermutung ${\displaystyle (H_{5})}$ äquivalent.

Dem Graphentheoretiker Rudolf Halin^[3] zufolge ist der Äquivalenzsatz ein überraschendes Resultat. Er sei der früheste Versuch, das Vierfarbenproblem zu „enttopologisieren“. Es werde in der Tat ... bei der Formulierung von ${\displaystyle (H_{5})}$ keinerlei Bezug auf eine ebene Darstellung genommen. ... Es [das Vierfarbenproblem] hat auch den Anstoß dazu gegeben, die allgemeine Vermutung ${\displaystyle (H_{n})}$ auszusprechen und näher zu untersuchen.^[4]

In einer im Jahre 1993 vorgelegten Arbeit haben Neil Robertson, Paul Seymour und Robin Thomas gezeigt, dass die Hadwiger-Vermutung ${\displaystyle (H_{6})}$ ebenfalls mit dem Vierfarbensatz äquivalent ist. Die eingeschränkte Hadwiger-Vermutung ${\displaystyle (H_{n})\;(n\leq 6)}$ ist damit gesichert.^[5]

• Satz von Wagner
• Satz von Wagner und Fáry

• Reinhard Diestel: Graph Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 173). 3. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2005, ISBN 3-540-26182-6.  MR2159259
• Rudolf Halin: Graphentheorie I (= Erträge der Forschung. Band 138). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1980, ISBN 3-534-06767-3.  MR0586234
• N. Robertson, P. Seymour, R. Thomas:: Hadwiger's conjecture for ${\displaystyle K_{6}}$-free graphs. In: Combinatorica. Band 13, 1993, S. 279–361, doi:10.1007/BF01202354 (springer.com).  MR1238823
• Klaus Wagner: Über eine Eigenschaft der ebenen Komplexe. In: Mathematische Annalen. Band 114, 1937, S. 570–590 (springer.com). MR1513158
• Klaus Wagner: Bemerkungen zu Hadwigers Vermutung. In: Mathematische Annalen. Band 141, 1960, S. 433–451 (springer.com). MR0121309
• Klaus Wagner: Beweis einer Abschwächung der Hadwiger-Vermutung. In: Mathematische Annalen. Band 153, 1964, S. 139–141 (springer.com). MR0121309
• Klaus Wagner: Graphentheorie (= BI-Hochschultaschenbücher. 248/248a). Bibliographisches Institut, Mannheim (u. a.) 1970, ISBN 3-411-00248-4.  MR0282850

1. ↑ Klaus Wagner: Graphentheorie. 1970, S. 148 ff., 171
2. ↑ Rudolf Halin: Graphentheorie I. 1980, S. 268 ff., 274–275
3. ↑ Halin ist ein Schüler von Klaus Wagner und hat diesem beide Bände seiner Graphentheorie gewidmet.
4. ↑ Halin, op. cit., S. 274
5. ↑ N. Robertson et al.: Hadwiger's conjecture for ${\displaystyle K_{6}}$-free graphs. In: Combinatorica. 13: S. 279–361.