Arkussekans und Arkuskosekans sind zyklometrische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen der Sekansfunktion bzw. der Kosekansfunktion und damit Arkusfunktionen. Da die Sekans- und die Kosekansfunktion periodisch sind, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Sekans auf
, und der Definitionsbereich von Kosekans auf
beschränkt. Der Arkussekans wird mit
bezeichnet und der Arkuskosekans mit
. Seltener, vor allem aber im Englischen verwendet man auch die Schreibweisen
und
; sie bedeuten aber nicht, dass
bzw.
die Kehrwerte von
und
sind.
Eigenschaften
| Arkussekans | Arkuskosekans |
Funktions- Graphen | | |
Definitionsbereich | | |
Wertebereich | | |
Monotonie | In beiden Abschnitten jeweils streng monoton steigend | In beiden Abschnitten jeweils streng monoton fallend |
Symmetrien | Punktsymmetrie zum Punkt | Ungerade Funktion |
Asymptoten | für | für |
Nullstellen | | keine |
Sprungstellen | keine | keine |
Polstellen | keine | keine |
Extrema | Minimum bei , Maximum bei | Minimum bei , Maximum bei |
Wendepunkte | keine | keine |
Reihenentwicklungen
Die Reihenentwicklungen von Arkussekans und Arkuskosekans sind:
![{\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!x^{-(2k+1)}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}}\approx {\frac {\pi }{2}}-x^{-1}-{\frac {1}{6}}x^{-3}-{\frac {3}{40}}x^{-5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e3dad74247a19765f135f8209babd749e4e881)
![{\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!x^{-(2k+1)}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}}={\frac {1}{x}}\;+\;{\frac {1}{2\cdot 3x^{3}}}\;+\;{\frac {3}{2\!\cdot \!4\cdot 5x^{5}}}\;+\;{\frac {3\!\cdot \!5}{2\!\cdot \!4\!\cdot \!6\cdot 7x^{7}}}\;+\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f55632669bcf668962512db9b52e031d2ce08f60)
Integraldarstellungen
Für den Arkussekans und Arkuskosekans existieren folgende Integraldarstellungen:
![{\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)=\int \limits _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0c79542346e69c84d0b323f2e75b7ae20cfbde)
![{\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80300ec6791af72fd64b505883596268fd8461eb)
Ableitungen
Die Ableitungen sind gegeben durch:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcsec} (x)={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f00dbae622cdd6ea51ed9310c5e7aa9d8b2b35)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccsc} (x)=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8f36ab1b8413b581e482cb95d7e9b00e3d02c50)
Integrale
![{\displaystyle \int \operatorname {arcsec} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arcsec} (x)-\operatorname {sgn}(x)\cdot \ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C=x\cdot \operatorname {arcsec} (x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9856924c069f3afc0ccad19c0eb000d6fb63d4f)
![{\displaystyle \int \operatorname {arccsc} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arccsc} (x)+\operatorname {sgn}(x)\cdot \ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C=x\cdot \operatorname {arccsc} (x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d2af0608c172a42f96b8a3fca2b25dd47b2c80)
Umrechnung und Beziehungen zu anderen zyklometrischen Funktionen
![{\displaystyle \operatorname {arcsec} \,(x)=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65406c158897afc1308845d823f3f7f8771b4099)
![{\displaystyle \operatorname {arccsc} \,(x)=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d6736b6ad563b1d43f8489d93e60fa0a28dbb3)
Siehe auch
- Formelsammlung Trigonometrie
- Trigonometrische Funktionen
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Inverse Secant und Inverse Cosecant auf MathWorld
Trigonometrische Funktion