Barratt-Milnor-Sphäre

Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie sind die Barratt-Milnor-Sphären ein Beispiel eines kompakten endlich-dimensionalen Raumes, dessen Homologiegruppen in beliebig hohen Graden nicht verschwinden und sogar überabzählbare Dimension haben. Sie sind nach Michael Barratt und John Milnor benannt.

Die ${\displaystyle k}$-dimensionale Barratt-Milnor-Sphäre kann definiert werden als

${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k+1}:{\Bigl (}x_{0}-{\frac {1}{n}}{\Bigr )}^{2}+x_{1}^{2}+\ldots +x_{k}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}}$.

Es handelt sich also um eine abzählbare Vereinigung von ${\displaystyle k}$-Sphären, die einen einzelnen Punkt gemeinsam haben und deren Topologie von einer Metrik kommt, in der die Durchmesser der Sphären mit wachsendem ${\displaystyle n}$ gegen Null konvergieren.

Für ${\displaystyle k=1}$ erhält man den Hawaiischen Ohrring. Die Bezeichnung Barratt-Milnor-Sphäre wird nur für ${\displaystyle k>1}$ verwendet.

Für ${\displaystyle q\equiv 1\ mod\ (r-1),q>1}$ sind die singulären Homologiegruppen ${\displaystyle H_{q}(X;\mathbb {Q} )}$ nicht Null und sogar überabzählbar.

Die ${\displaystyle k}$-dimensionalen Barratt-Milnor-Sphären sind ${\displaystyle (k-1)}$-zusammenhängend und lokal ${\displaystyle (k-1)}$-zusammenhängend.

Sie sind aber nicht semilokal ${\displaystyle k}$-zusammenhängend.

Sie sind kompakt und ${\displaystyle k}$-dimensional.

Sie sind die Einpunkt-Kompaktifizierung einer abzählbaren Vereinigung von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$s.

• M. Barratt, J. Milnor: An example of anomalous singular homology, Proc. Amer. Math. Soc. 13, 293–297 (1962)