Die Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen (auch: Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen oder Cauchy-Riemann-Gleichungen) im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie sind ein System von zwei partiellen Differentialgleichungen zweier reell-wertiger Funktionen. Sie schlagen eine Brücke von den reell-differenzierbaren Funktionen
zu den komplex-differenzierbaren der (komplexen) Funktionentheorie
.
Zum ersten Mal tauchen sie 1752 bei d’Alembert auf.[1] Euler verband dieses System 1777 mit den analytischen Funktionen.[2] In einem rein funktionentheoretischen Kontext erscheinen sie 1814 bei Cauchy[3] und 1851 in Riemanns Dissertation.[4]
Definition
Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (CRDG) sind das System von zwei Differentialgleichungen zweier reellwertiger Funktionen
in zwei reellen Variablen
:
(CRDG)
Beziehung zu den holomorphen Funktionen
Vergleiche hierzu auch den Abschnitt Erläuterungen im Artikel über holomorphe Funktionen.
Isomorphie zwischen der reellen Ebene und den komplexen Zahlen
ist in natürlicher Weise ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit der kanonischen Basis
. Dies gibt Anlass zu einer natürlichen Identifikation
. Ein Punkt
hat die reellen kartesischen Koordinaten
, oder kurz
. Eine komplexwertige Funktion
auf einer offenen Teilmenge von
kann man daher durch Zerlegung in ihren Real- und Imaginärteil
als eine
-wertige Funktion von zwei reellen Variablen
auffassen.
Komplexe Differenzierbarkeit
Ein wichtiges elementares Resultat der Funktionentheorie ist die Beziehung zwischen den Lösungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung und den holomorphen (also den auf einer offenen Menge
komplex differenzierbaren) Funktionen.
Eine Funktion
ist auf
nämlich genau dann komplex differenzierbar, wenn ihre Entsprechung
auf
(reell) differenzierbar ist und die Funktionen
und
die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen. In diesem Fall gilt
.
Insbesondere klärt diese Aussage den Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit von Abbildungen der Ebene in die Ebene. Weiter kann sogar gezeigt werden, dass die Begriffe holomorph und analytisch äquivalent sind. Für weitere äquivalente Charakterisierungen siehe Holomorphe Funktion#Holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher.
Herleitung
Wenn
in
komplex differenzierbar ist, dann existiert
![{\displaystyle f'(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0492eb891654a7e12c3e4f698f935d7a56d12b69)
für jedes
. Durch Auflösen nach
ergibt sich
![{\displaystyle f(z_{0}+h)=f(z_{0})+f'(z_{0})\cdot h+r(h)\quad {\text{mit}}\;\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {r(h)}{|h|}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1e79eef6a316fabfe040dbe1caabad8dd1ad6f)
Zerlegt man
und
, so erhält man
![{\displaystyle f(x_{0}+\Delta x+\mathrm {i} (y_{0}+\Delta y))=f(x_{0}+\mathrm {i} y_{0})+(a+\mathrm {i} b)\Delta x+(-b+\mathrm {i} a)\Delta y+r(h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bda283f455eb0d5b30fd9adfd5714fdd1be2a8d)
Dies zeigt, dass
total differenzierbar ist und die partiellen Ableitungen von
gegeben sind durch
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(z_{0})=a={\frac {\partial v}{\partial y}}(z_{0});{\frac {\partial u}{\partial y}}(z_{0})=-b=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(z_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7afc5d2f635011440723432457a3a902892297c7)
Beispiel
Die Funktion
,
ist holomorph, denn ihr Realteil
und ihr Imaginärteil
sind reell differenzierbar und es gilt
,
.
Weitere Eigenschaften
Polarkoordinaten
Man kann die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen auch in anderen Koordinaten als den kartesischen darstellen. Im Folgenden wird die Darstellung in Polarkoordinaten erläutert. Eine Darstellung einer komplexen Zahl in Polarform ist
. Dies führt dazu, dass man die partiellen Ableitungen von
nach
beziehungsweise
zu betrachten hat. Für diese gilt
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}={\frac {\partial z}{\partial r}}{\frac {\partial f}{\partial z}}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }f',\,\quad {\frac {\partial f}{\partial \phi }}={\frac {\partial z}{\partial \phi }}{\frac {\partial f}{\partial z}}=\mathrm {i} r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }f'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef56fa916a5cfef856998a0bb55d6e72aff17c8)
Daraus folgt mit
:
![{\displaystyle 0={\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {\mathrm {i} }{r}}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}={\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {\mathrm {i} }{r}}{\frac {\partial u}{\partial \phi }}+\mathrm {i} {\frac {\partial v}{\partial r}}+{\frac {\mathrm {i} ^{2}}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \phi }}=\left({\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \phi }}\right)+\mathrm {i} \left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \phi }}+{\frac {\partial v}{\partial r}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e904f5c5e5d3a19e74aa6f8d7f0d64013b882d7a)
Da beide Klammern verschwinden müssen, gilt:
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \phi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa8c84ec25563c2fca66b07c07a3955196aa709a)
und
![{\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial r}}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \phi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/286c3e3b90e291838464099a8e8cd921c2bc50ed)
Dies sind die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in Polarkoordinaten.
Die komplexe Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist
![{\displaystyle 0=f'+\mathrm {i} ^{2}f'={\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\quad \Rightarrow \quad \mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08b09d1b0831381a197bc611c2d6054968580a06)
Diese Form der Gleichung entspricht der Forderung, dass in der Matrixdarstellung der komplexen Zahlen die Jacobi-Matrix die folgende Struktur hat
mit ![{\displaystyle a={\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\ ,\quad b={\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{\partial y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1cfe73ecf261f62834746b6edf6a75d43b2f62)
Die zu diesen Matrizen gehörenden linearen Abbildungen sind, sofern
und
nicht beide null sind, Drehstreckungen im Raum
, dabei ist
und
, wobei
der Skalierungsfaktor und
der Drehwinkel ist. Diese Abbildung ist somit winkel- und orientierungstreu; das heißt, der (orientierte) Winkel zwischen zwei Kurven in der Ebene bleibt erhalten. Funktionen, die die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen und deren Ableitung in keinem Punkt verschwindet, sind also konform.
Darstellung durch den Cauchy-Riemann-Operator
In diesem Abschnitt wird eine kompaktere Schreibweise der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen aufgezeigt. Dabei wird ersichtlich, dass in
holomorphe Funktionen unabhängig vom komplex konjugierten
sein müssen.
Eine komplexe Zahl
und ihre komplex konjugierte
hängen mit Realteil
und Imaginärteil
mittels der Gleichungen
![{\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+\mathrm {i} y\ ,\ &{\bar {z}}&=x-\mathrm {i} y\\x&={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}\ ,\ &y&={\frac {z-{\bar {z}}}{2\mathrm {i} }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e056053cc3e0576919ed56777749f8c849344aea)
zusammen.
Aufgrund dieses Zusammenhangs erscheint es sinnvoll die Differentialoperatoren
![{\displaystyle {\begin{aligned}\partial :={\frac {\partial }{\partial z}}&={\frac {\partial x}{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial y}{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial y}}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigr )}\\{\bar {\partial }}:={\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}&={\frac {\partial x}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial y}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {\partial }{\partial y}}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigr )}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910311151545bcdcb6571e9e764b0c1789896468)
zu definieren. Der Operator
heißt Cauchy-Riemann-Operator, und der Kalkül dieser Operatoren wird Wirtinger-Kalkül genannt. Mit der komplexen Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen aus dem vorigen Abschnitt erhält man die Gleichung
![{\displaystyle 0={\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}=2{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=2{\bar {\partial }}f\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87fd62a5c531d5db195ab4357ff1110836a5c829)
Hier konnte die partielle Ableitung nach der komplex konjugierten Variable identifiziert werden. Die Gleichung
bzw. ![{\displaystyle {\bar {\partial }}f=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f210878c7ae78ccb976f5a02ff4f06152c8a9f)
ist eine alternative Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und bedeutet, dass wenn
holomorph ist, es unabhängig von
sein muss. Somit können analytische Funktionen als wirkliche Funktionen einer komplexen Variable anstatt einer komplexen Funktion von zwei reellen Variablen angesehen werden.
Beziehung zu den harmonischen Funktionen
Seien
und
Funktionen wie im Abschnitt „Isomorphie zwischen der reellen Ebene und den komplexen Zahlen“. Dann sind
und
harmonische Funktionen, falls
holomorph ist. Dann sind nämlich
und
zweimal stetig differenzierbar (sie sind sogar glatt) und erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Beispielsweise für
folgt dann mit dem Satz von Schwarz
,
also
mit dem Laplace-Operator
. Eine analoge Rechnung gilt für
und ergibt
.
Aus dem Lemma von Weyl folgt, dass jede Distribution
, die die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen im distributionellen Sinn löst, regulär sein muss. Daher sind also auch distributionelle Lösungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen holomorphe Funktionen.[5]
Physikalische Interpretation
Diese Interpretation verwendet nicht direkt komplexe Variablen. Es sei eine Funktion
gegeben mit
. Die skalaren Felder
und
sollen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen (beachte andere Vorzeichenkonvention):
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial y}}\ ,\quad {\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial y}}\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdce60304fd7dacc6bca9fedd361ef330149c2dd)
Betrachte nun das Vektorfeld
als reeller dreikomponentiger Vektor:
![{\displaystyle {\vec {f}}={\begin{bmatrix}u\\v\\0\end{bmatrix}}\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9d98c241723c43036db7d1e096e3452e596700)
Dann beschreibt die erste Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung die Quellenfreiheit:
![{\displaystyle 0={\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=\operatorname {div} {\vec {f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57883a04975d8f346f7a74445a3aa3d3fedddd36)
und die zweite Gleichung beschreibt die Rotationsfreiheit:
![{\displaystyle 0={\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}=\left[\operatorname {rot} {\vec {f}}\right]_{3}\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc4162ae9dea16dd882bc48fc8ca16bb3e5afdf)
Somit ist
quellenfrei und besitzt ein Potential. In der Strömungslehre beschreibt solch ein Feld eine zweidimensionale Potentialströmung.
Inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung in einer Veränderlichen
Definition
Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung hat die Darstellung
![{\displaystyle {\bar {\partial }}u=f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a84003787aefbe971207d469bed3c93ccb9cd51)
dabei ist
der Cauchy-Riemann-Operator,
ist eine gegebene Funktion und
ist die gesuchte Lösung. Dass
den oben definierten homogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen entspricht, wird weiter oben im Artikel schon angesprochen. Die Theorie der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung ist für Lösungen in
verschieden von Lösungen in
mit
und wird hier in zwei unterschiedlichen Abschnitten angerissen.
Fundamentallösung
Für Dimension
ist die Fundamentallösung des Cauchy-Riemann-Operators
durch
gegeben. Das heißt, die durch die Funktion
erzeugte Distribution löst die Gleichung
, wobei
die Delta-Distribution ist. Sei
eine glatte Testfunktion mit kompaktem Träger, dann sieht man die Gültigkeit der Aussage aufgrund
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}{\frac {1}{z}},\phi \right)_{{\mathcal {D}}\times {\mathcal {D}}'}&=-{\frac {1}{2\mathrm {i} }}\int _{\mathbb {C} }{\frac {1}{z}}\,{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}\phi (z)\mathrm {d} {\overline {z}}\mathrm {d} z\\&=-\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{2\mathrm {i} }}\int _{\mathbb {C} \backslash B_{\epsilon }}\left({\frac {1}{z}}\,{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}\phi (z)+\phi (z)\,{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}{\frac {1}{z}}\right)\mathrm {d} {\overline {z}}\mathrm {d} z\\&=-\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{2\mathrm {i} }}\int _{\mathbb {C} \backslash B_{\epsilon }}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}{\frac {\phi (z)}{z}}\mathrm {d} {\overline {z}}\mathrm {d} z\\&=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{2\mathrm {i} }}{\frac {2\mathrm {i} }{2\mathrm {i} }}\int _{\mathbb {R} ^{2}\backslash B_{\epsilon }}\left(i{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\phi (x+\mathrm {i} y)}{x+\mathrm {i} y}}-{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\phi (x+\mathrm {i} y)}{x+\mathrm {i} y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\\&=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{2\mathrm {i} }}\int _{\partial B_{\epsilon }}\left({\frac {\phi (x+\mathrm {i} y)}{x+\mathrm {i} y}}\mathrm {d} x+\mathrm {i} {\frac {\phi (x+\mathrm {i} y)}{x+\mathrm {i} y}}\mathrm {d} y\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{2\mathrm {i} }}\int _{\partial B_{\epsilon }}{\frac {\phi (z)}{z}}\mathrm {d} z\\&=\pi \phi (0).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09fe8396bb4564ff40661fb7678770feade3bd7)
Integraldarstellung
Für
mit
erhält man mit
![{\displaystyle u(\zeta )={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\mathbb {C} }{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\mathrm {d} z\mathrm {d} {\bar {z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d718d2ef3e2e4ca4668a209cd119ce6a22ce83)
eine Lösung der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung
mit
.
Inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung in mehreren Veränderlichen
Im Folgenden sei
die Dimension des zugrundeliegenden Raum beziehungsweise die Anzahl der Komponenten einer Funktion.
Definition
Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung hat in mehreren Veränderlichen ebenfalls die Darstellung
![{\displaystyle {\bar {\partial }}u=f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a84003787aefbe971207d469bed3c93ccb9cd51)
dabei ist
der Dolbeault-Quer-Operator,
ist eine gegebene
-komplexe Differentialform mit kompaktem Träger und
ist die gesuchte Lösung. Explizit bedeutet dies, dass das System
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}_{j}}}=f_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0647799d63de2423c527c7ff239fe32e790a4512)
von partiellen Differentialgleichungen für
gelöst werden muss. Der Differentialoperator
ist der Cauchy-Riemann-Operator.
Notwendige Bedingung
Für
ist die Voraussetzung
notwendig. Man sieht dies, wenn man auf beiden Seiten der Gleichung den Dolbeault-Quer-Operator anwendet. So erhält man nämlich
, da für den Dolbeault-Operator auf Differentialformen
gilt, muss
gelten. Da
eine (0,1)-Form ist, bedeutet
nicht, dass
eine holomorphe Differentialform ist, denn nur (p,0)-Formen, die diese Gleichung erfüllen, heißen holomorph.
Existenzaussage
Sei
eine (0,1)-Form mit
und
. Dann existiert eine Funktion
, so dass die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung
erfüllt ist.
Literatur
- Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie. 1. Band. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-67641-4 (Springer-Lehrbuch).
- Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. 2. revised edition. North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-7204-2450-X (North-Holland mathematical Library, 7).
Einzelnachweise
- ↑ J. d’Alembert: Essai d’une nouvelle théorie de la résistance des fluides. In: gallica. 1752 (bnf.fr).
- ↑ L. Euler: Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis. In: Nova Acta Acad. Sci. Petrop. 10. Jahrgang, 1797, S. 3–19.
- ↑ A.L. Cauchy: Mémoire sur les intégrales définies. In: Oeuvres complètes Ser. 1. 1. Jahrgang, 1814, S. 319–506.
- ↑ B. Riemann: Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse. In: pdf. (tcd.ie [PDF]).
- ↑ Otto Forster: Riemannsche Flächen (= Heidelberger Taschenbücher 184). Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1, S. 174.