Dieser Artikel behandelt eine Folge ganzer Zahlen. Zu anderen nach Euler benannten Zahlen und Zahlenfolgen siehe Eulersche Zahlen (Begriffsklärung).
Die Eulerschen Zahlen oder manchmal auch Euler-Zahlen (nach Leonhard Euler) sind eine Folge
ganzer Zahlen, die durch die Taylorentwicklung der Hyperbelfunktion Secans hyperbolicus
![{\displaystyle \operatorname {sech} (x)={\frac {1}{\cosh(x)}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0904539d972ff1839b3c3336bd6e38f8de312a5)
definiert sind. Sie sind nicht zu verwechseln mit den zweiparametrigen Euler-Zahlen
.
Zahlenwerte
Die ersten Eulerschen Zahlen
lauten
| |
0 | 1 |
2 | −1 |
4 | 5 |
6 | −61 |
8 | 1385 |
10 | −50521 |
12 | 2702765 |
14 | −199360981 |
16 | 19391512145 |
18 | −2404879675441 |
20 | 370371188237525 |
Alle Eulerschen Zahlen mit ungeradem Index sind Null, während diejenigen mit geradem Index alternierendes Vorzeichen haben. Ferner besitzen die positiven Werte, mit Ausnahme von E0 bei Division durch 10 den Rest 5 und die negativen Werte modulo 10 den Rest −1 bzw. Wert 9.
Manche Autoren lassen die Zahlen mit ungeradem Index ganz weg, halbieren die Indizes sozusagen, da dort die Werte mit 0 nicht betrachtet werden, und definieren ihre Euler-Zahlen als verbleibende Folge. Manchmal werden die Eulerschen Zahlen auch so definiert, dass sie alle positiv sind, sprich unseren
entsprechen.
Eigenschaften
Asymptotisches Verhalten
Für das asymptotische Verhalten der Eulerschen Zahlen gilt
![{\displaystyle E_{2n}\sim (-1)^{n}\,8\,{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}=(-1)^{n}{\frac {\sqrt {e}}{2}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n+{\frac {1}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2b267a19f6e06cfbae7a6f73b3f8f3d722576b)
oder präziser
![{\displaystyle {\frac {E_{2n}}{(2n)!}}\sim 2\,(-1)^{n}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4462c34d0626093411d8d415f544421f2064caa5)
mit der ~-Äquivalenz-Notation.
Rekursionsgleichung
Eine leicht zu merkende Form der Rekursionsgleichung mit dem Startwert
lautet
![{\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {N} \colon \quad (E+1)^{n}+(E-1)^{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa0b412a8848aeb5b1f336bf842296de8e0973f)
wobei
als
zu interpretieren ist und woraus
![{\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {N} \colon \quad \sum _{k=0}^{n}\left(1+(-1)^{n-k}\right){n \choose k}E_{k}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1165ed93305885b3aeadc345700bdabe47b8a92e)
bzw. durch Indextransformation die explizite Gestalt
![{\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {N} \colon \quad E_{n}=-\sum _{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor }{n \choose 2k}E_{n-2k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57551a62bc3c53aea17cf95bd539771f6c881c1)
folgt.
Geschlossene Darstellungen
Die Eulerschen Zahlen lassen sich sogar exakt[1]
![{\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {N} _{0}\colon \quad E_{2n}={\frac {(2n)!\,2^{2n+2}}{(-1)^{n}\pi ^{2n+1}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{2n+1}}}={\frac {(2n)!\,2}{(-1)^{n}(2\pi )^{2n+1}}}\left(\zeta (2n+1,{\tfrac {1}{4}})-\zeta (2n+1,{\tfrac {3}{4}})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63c10ad4a56fe687931b44e4525f27d17652a886)
mittels der Hurwitzschen Zetafunktion
falls
ist, darstellen. Und unter Ausnutzung ihrer Funktionalgleichung (dort mit m=1, n=4) die elegante Beziehung
![{\displaystyle E_{2n}=4^{2n+1}\zeta (-2n,{\tfrac {1}{4}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18930686621e3776447f963334bf7001f684993a)
aufstellen, die diese Zahlen als skalierte Funktionswerte dieser auf
holomorphen Funktion identifiziert. Somit erhalten wir auch
![{\displaystyle E_{2n}=-4^{2n+1}{\frac {B_{2n+1}({\tfrac {1}{4}})}{2n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a250f9454372f8072ec9ee2af5232fd3cd52bf)
was einen direkten Zusammenhang mit den Bernoulli-Polynomen
und somit zu den Bernoulli-Zahlen herstellt. Außerdem gilt
![{\displaystyle E_{2n}={\frac {(-1)^{n}4^{n+1}(2n)!}{\pi ^{2n+1}}}\cdot \beta (2n+1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78347aaefed8912958e06aafec241a4073050329)
wobei
die Dirichletsche Betafunktion bezeichnet.
Eulersche Polynome
- Nicht zu verwechseln mit den Euler-Polynomen
Die Eulerschen Polynome
werden meistens durch ihre erzeugende Funktion
![{\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\text{E}}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325f36b81e6786218628bf3a4904174336871e1d)
implizit definiert. Die ersten lauten
![{\displaystyle {\text{E}}_{0}(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd4d65f074c3abcb8e1777c2561a1aca9626a61)
![{\displaystyle {\text{E}}_{1}(x)=x-{\tfrac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80287253d00211b2bd4adcda635e57a5e72118aa)
![{\displaystyle {\text{E}}_{2}(x)=x^{2}-x=x(x-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd00defcff6a6f1493bc24ea25e916beec316a2)
![{\displaystyle {\text{E}}_{3}(x)=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{4}}={\tfrac {1}{4}}(2x-1)(2x^{2}-2x-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18eb6339f7af4352d96c174efc72ee9d699fc58c)
![{\displaystyle {\text{E}}_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x=x(x-1)(x^{2}-x-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7cb1c881b3d3a0449a49f575f08ed2aa3a5390)
![{\displaystyle {\text{E}}_{5}(x)=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}(2x-1)(x^{2}-x-1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04776fa9a22a5293b18699ae088499ada690aab)
![{\displaystyle {\text{E}}_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x=x(x-1)(x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+3x+3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75300fd90aa39a952849dc045443deebb2fd7ada)
Man kann sie aber auch zu
und dann für
über die Gleichung
![{\displaystyle {\text{E}}_{n}(x)=\int _{c}^{x}n{\text{E}}_{n-1}(t)\,{\text{d}}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d28b03eda2ed79ab71b6806cd5a45b99de64039)
induktiv definieren, wobei die untere Integrationsgrenze
für ungerades
1/2 ist und für gerades
Null ist.
Die Eulerschen Polynome sind symmetrisch um
, d. h.
![{\displaystyle {\text{E}}_{n}({\tfrac {1}{2}}+x)=(-1)^{n}{\text{E}}_{n}({\tfrac {1}{2}}-x)\qquad {\text{bzw.}}\qquad {\text{E}}_{n}(x+1)=(-1)^{n}{\text{E}}_{n}(-x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba339b4628b24dfad1ffd4cf70a35d6ae64ba3f)
und ihre Funktionswerte an den Stellen
und
der Beziehung
![{\displaystyle {\text{E}}_{n}({\tfrac {1}{2}})=2^{-n}E_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa1dd3f262ca3f494e3e3e4c6fab12993e0b824)
und
![{\displaystyle {\text{E}}_{n-1}(0)=(2^{n+1}-2){\frac {B_{n}}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462c58ac283dd4a400f34fb45c5d4721eabc47a5)
genügen, wobei
die Bernoulli-Zahl zweiter Art bezeichnet. Ferner haben wir die Identität
![{\displaystyle {\text{E}}_{n}(x+1)+{\text{E}}_{n}(x)=2x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c783ae148c0e00f46a1f59ffdcec9a80dc0d2e5)
Das Eulersche Polynom
hat für
weniger als
reelle Nullstellen. So hat zwar
fünf (allerdings zwei doppelte, sprich nur drei verschiedene), aber schon
nur die zwei (trivialen) Nullstellen bei 0 und bei 1. Sei
die Nullstellenmenge. Dann ist
![{\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}|R(n)|+1\leq \min R(n)\leq \max R(n)\leq {\tfrac {1}{2}}|R(n)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b36ec07d5edecdba0ac77b21c6e1bcf827e5953)
– wobei im Fall n=5 die Anzahl
als 5 zu bewerten ist, da die Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden müssen – und es gilt
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|R(n)|}{n}}={\frac {2}{\pi e}}\approx 0{,}2342}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56fe1fcba5b9098b546b6c630d583a9c52d586f9)
wobei die Funktion
angewandt auf eine Menge eigentlich deren Elementanzahl angibt.
Vorkommen
Taylorreihen
Die Folge der Eulerschen Zahlen
tritt zum Beispiel in der Taylorentwicklung von
![{\displaystyle \sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}={\frac {1}{\cosh(\mathrm {i} \,x)}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}E_{2n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af26926fb8db1ebaa916989c028d558e96911d97)
auf. Sie ist verwandt mit der Folge der Bernoulli-Zahlen
was man auch an der Darstellung
![{\displaystyle \operatorname {csch} (x)={\frac {1}{\sinh(x)}}=\sum _{n=0}^{\infty }(2-2^{n})B_{n}{\frac {x^{n-1}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac8ab89bc3162c4a1ae8f7be799437cc0bcbf9f6)
erkennt. Aus dem Konvergenzradius der Taylorentwicklung der Sekans-funktion – der Cosinus im Nenner dort wird 0 bei
– von
folgt aus dem Wurzelkriterium das
asymptotisch gelten muss. Sie treten natürlich auch in den Taylorreihen der höheren Ableitungen vom Secans hyperbolicus bzw. der Gudermannfunktion auf.
Integrale
Auch bei manchen uneigentlichen Integralen treten sie auf; beispielsweise bei dem Integral
.
Permutationen
Die Eulerschen Zahlen kommen beim Zählen der Anzahl alternierender Permutationen mit gerader Elementanzahl vor. Eine alternierende Permutation von Werten ist eine Auflistung dieser Werte
, so dass diese Permutation kein Tripel
mit
enthält, das geordnet ist. Allgemein gilt für die Anzahl
der alternierenden Permutationen von
Elementen (die vergleichbar sind)
,
wobei der Faktor zwei dadurch entsteht, dass man jede Permutation durch Umdrehen der Reihenfolge in eine andere alternierende Permutation überführen kann. Für eine beliebige (also auch ungerade) Anzahl
gilt
![{\displaystyle A_{n}=2\,n!\,\alpha _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21bd8b0dd000f763889447e0d5f08c5fff2faeee)
mit
und
![{\displaystyle \alpha _{n}={\frac {1}{2n}}\sum _{j=0}^{n-1}\alpha _{j}\alpha _{n-1-j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8402d50bf0b2461fe6db6f7d5f2301194ea122)
für
, womit man einen weiteren effizienten Algorithmus auch zur Bestimmung der
erhält. Für ungerades
werden die Werte
auch Tangentenzahlen genannt.
Literatur
- J. M. Borwein, P. B. Borwein, K. Dilcher, Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions, AMM, V. 96, No. 8, (Oct. 1989), pp. 681–687
Weblinks
Einzelnachweise
- ↑ M. Abramowitz and I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Dover, N.Y. 1964, p. 807