Folgen und Reihen
Arithmetische und geometrische Folgen
- Arithmetische Folge
![{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=d\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8587c4875904c8699577776c511bc6376c5357)
![{\displaystyle a_{n}={\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}+a_{n+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ab8a1955fb59b735dbec94bba7038648fb7758)
![{\displaystyle \,a_{n}=a_{1}+(n-1)d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f80c6721bb16394e8728fca734af9ef93bf814)
- Geometrische Folge
![{\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} n,q\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc5826aa2038626e6c9c132bf73b498b4bdff78e)
![{\displaystyle a_{n}={\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e8404dd0ef89523923a4dd690b26891b5b7381b)
![{\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d661c6435667c7a4e56549f178a4cdf91f270dd4)
Grenzwerte: Definition (Folgen)
- Die Folge
heißt Nullfolge, wenn es zu jedem
eine Nummer
gibt, sodass für alle Folgeglieder mit höherer Nummer, also
gilt:
![{\displaystyle \,|a_{n}|<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ba04cbc5b4bcdfb1d550820b12c08e36f6620a)
- Eine Folge
hat den Grenzwert a, wenn die Folge
den Grenzwert 0 hat. - Folgen ohne Grenzwert heißen divergent.
- Eine Folge heißt beschränkt, wenn es eine Zahl
gibt, sodass
für alle
gilt.
Grenzwertsätze (Folgen)
Hat die Folge
den Grenzwert a, die Folge
den Grenzwert b, so gilt:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=a\pm b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ff933bc34591361aa9aa7da157d978ba3a655d)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=a\cdot b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a0c0d33ae3e9dae9dc428065e6436d58e0ff2d)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}\qquad b\not =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d58277f7bc5b223dea7896a357a604eecc181c1)
Grenzwerte von Funktionen
- [Definition, Eigenschaften, Grenzwertsätze analog]
Sei
Voraussetzungen:
- Es gibt eine Stelle
, sodass
und
entweder Null sind oder bestimmt divergieren
und
sind in einer Umgebung von
differenzierbar - Der Grenzwert
existiert.
Dann gilt:
![{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {u(x)}{v(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {u'(x)}{v'(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30d048845be88738202f028b4e5bed6244ceb86)
Einseitige Grenzwerte
Die Funktion
hat für
den Limes
, wenn es zu jedem (noch so kleinen)
ein
gibt, sodass für alle
-Werte aus dem Definitionsbereich
von
, die der Bedingung
genügen, auch
gilt.
- In diesem Falle nennt man den Grenzwert
konvergent.
Stetigkeit
Eine Funktion
heißt an einer Stelle
stetig, wenn der Grenzwert von
für
gegen
existiert und mit dem Funktionswert
übereinstimmt
![{\displaystyle f(x_{0})=\lim _{h\to 0}f(x_{0}+h)=\lim _{h\to 0}f(x_{0}-h)=\lim _{x\to x_{0}}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fdd8009cfea7a9753cdce656ea84c6c961aeea3)
- Epsilon-Delta-Kriterium:
ist stetig in
, wenn
zu jedem
ein
existiert, so dass für alle
mit
gilt:
. - Folgenkriterium:
ist stetig in
, wenn für jede Folge
mit Elementen
, die gegen
konvergiert, auch
gegen
konvergiert.
Grundlegendes
- Zwischenwertsatz
- Eine im Intervall
(
) stetige Funktion
nimmt jeden Funktionswert zwischen
und
mindestens einmal an.
Spezialfall: Nullstellensatz
- Eine in
stetige Funktion, bei der
und
verschiedene Vorzeichen haben, hat dort mindestens eine Nullstelle. - Extremwertsatz
- Eine in einem Intervall stetige Funktion hat dort stets einen größten und einen kleinsten Funktionswert.
- Mittelwertsatz
- Es sei
auf dem abgeschlossenen Intervall
(
) stetig und differenzierbar. Dann gibt es mindestens ein
, so dass ![{\displaystyle f'\left(x_{0}\right)={\frac {f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407c245fa5f48f7a4872ec7dbc8330261d3b72b6)
- gilt.
Differentialrechnung
Differenzierbarkeit: Definitionen
Eine Funktion
ist genau dann differenzierbar an einer Stelle
ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert
![{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1544ea3d274ef767d1ab121674f453639c9234d9)
existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von
an der Stelle
.
Geometrisches: Tangenten
- Tangentengleichung zu
im Punkt ![{\displaystyle P(x_{0}|f(x_{0}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0935f383bb121286230b8ad00a079348b12fd6)
![{\displaystyle y=f'(x_{0})\!\,(x-x_{0})+f(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b63201a4adc25e468e26d5ddeaf89f167f43ac)
- Normale (Senkrechte)
![{\displaystyle y={\frac {-1}{f'(x_{0})}}(x-x_{0})+f(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d57dd6a1caa5d686fe0e4e4597e8e96190eefc4)
Ableitungsregeln
- Konstante Funktion
![{\displaystyle \left(a\right)'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1050a10bfbb7449309462816d32ecbd7dea6164b)
- Faktorregel
![{\displaystyle (a\cdot f)'=a\cdot f'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e308728043f480d59a3f9bb7109c8d9cba954f)
- Summenregel
![{\displaystyle \left(g\pm h\right)'=g'\pm h'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46620201b8360c490f5041f327d8825e14d616c)
- Produktregel
![{\displaystyle (g\cdot h)'=g'\cdot h+g\cdot h'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05cff9657c544b74ab128545a57aaef16431f575)
- Quotientenregel
![{\displaystyle \left({\frac {g}{h}}\right)'={\frac {g'\cdot h-g\cdot h'}{h^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14cbf031987cefc5420324fafa426decf4cd314)
- Potenzregel
![{\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8302b879b6e60565e573d710bea60c69436f1ba9)
- Kettenregel
![{\displaystyle (g\circ h)'(x)=(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb45ef8447352cbe95eeca6c9e9cb12d0c271f9)
- Ableitung der Potenzfunktion
![{\displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a31e7f794f6d3b03d1bb9507e3e5e1e9dc1dd41)
. - Leibnizsche Regel
- Die Ableitung
-ter Ordnung für ein Produkt aus zwei
-fach differenzierbaren Funktionen
und
ergibt sich aus
. - Die hier auftretenden Ausdrücke der Form
sind Binomialkoeffizienten. - Formel von Faà di Bruno
- Diese Formel ermöglicht die geschlossene Darstellung der
-ten Ableitung der Komposition zweier
-fach differenzierbarer Funktionen. Sie verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen.
Ableitungen wichtiger Funktionen
siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen
Betrachtet wird
Untersuchungsaspekt | Kriterium |
Nullstelle | |
Extremwert | |
Minimum | |
Maximum | |
Wendepunkt | |
Sattelpunkt | |
Verhalten im Unendlichen | |
Symmetrie |
Achsensymmetrie zur Koordinatenachse („gerade“) | |
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung („ungerade“) | |
Monotonie |
monoton steigend bzw. streng monoton steigend | |
monoton fallend bzw. streng monoton fallend | |
Krümmung |
Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen) | |
Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen) | |
Periodizität | |
Funktionsterm:
![{\displaystyle f(x)={\frac {a_{z}x^{z}+a_{z-1}x^{z-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}={\frac {P_{z}(x)}{Q_{n}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d77cfdf6554c77d943fc4ac28bdbb7bcad7763d)
- Einteilung
- Ist das Nennerpolynom
vom Grad 0 (also n = 0 und b0 ≠ 0) und ist
nicht das Nullpolynom, so spricht man von einer ganzrationalen oder einer Polynomfunktion. - Ist n > 0 , so handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion.
- Ist n > 0 und z < n, so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.
- Ist n > 0 und z ≥ n, so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Sie kann mittels Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden.
- Definitionsbereich
![{\displaystyle \mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \lbrace x_{0}\mid Q_{n}(x_{0})=0\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca1a9915f2329a887ea465d05b4fbe68b0b6b2a)
- Asymptotisches Verhalten: Für
strebt
- [falls
] gegen
, wobei sgn die Vorzeichenfunktion bezeichnet. - [falls
] gegen ![{\displaystyle {\tfrac {a_{z}}{b_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9db6ea1d62490f8a3f919544cdf38878575010)
- [falls
] gegen 0 (die x-Achse)
- Symmetrie
- Sind
und
beide gerade oder beide ungerade, so ist
gerade (symmetrisch zur y-Achse). - Ist
gerade und
ungerade, so ist
ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung); Gleiches gilt, wenn
ungerade und
gerade ist.
- Polstellen:
heißt Polstelle von
, wenn ![{\displaystyle Q_{n}(x_{p})=0\quad {\text{und}}\quad P_{z}(x_{p})\neq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d7e84da43f6486cbda46940f4cd920340d25bbb)
- Asymptoten: Mittels Polynomdivision von
durch
erhält man
mit Polynomen
und
, wobei der Grad von
kleiner als der von
ist. Das asymptotische Verhalten von
ist damit durch die ganzrationale Funktion
bestimmt:
x-Achse ist Asymptote: ![{\displaystyle g(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c9bb64a9a8234edd8fb1c622dddfab478719776)
waagerechte Asymptote: ![{\displaystyle g(x)={\frac {a_{z}}{b_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd43e352af55b422bc011c5b50c3acf66404a8d)
schräge Asymptote: ![{\displaystyle g(x)=mx+c\,;m\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1256c4c6caf3c013d0be227b98aa722a05bdfd6e)
ganzrationale Näherungsfunktion
Flächenberechnung
Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f(x) im Intervall von a bis b ist
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\qquad {\text{falls }}f(x)\geq 0\forall x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b506c88774f4ab310172759590a01006def54570)
![{\displaystyle -\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\qquad {\text{falls }}f(x)\leq 0\forall x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e4e09ec4cf8deb90f91d91a7eff037087637e5)
- Andernfalls ist das Intervall durch Bestimmung der Nullstellen in solche Teilintervalle zu zerlegen.
Eigenschaften des bestimmten Integrals
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f067fc07d92fa0c13467bb1d7b3ef00b0af4c204)
![{\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f38387b6488ba85ae4597e7591c5bd9ca27b557)
![{\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}f(x)\mathrm {d} x,\qquad a<b<c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f4401b46ba6313f2f031363db4da451a0f1082f)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}k\cdot f(x)\mathrm {d} x=k\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9209cbcbe03a3574923fe09f7e26cc5cc021ede)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dab3201bd12662e528c81bf2fe3a1cd19078d20)
- Integralfunktion
![{\displaystyle F_{a}(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b73c07d3551908f15777952e2ca23b8628acfea3)
- Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
![{\displaystyle F_{a}(x)'=f(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f54b7bad6f9009caf0ea99dec612341b68c4ff)
- Stammfunktion
- Jede Funktion
heißt Stammfunktion von
, wenn für alle x des Definitionsbereichs gilt ![{\displaystyle F'(x)=f(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a91d207cdb58e0f70d76379092ce34db6f5993)
- Dies bezeichnet der Ausdruck
![{\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07dcdf22244ef6077217b1916828efe4882cb01a)
- Integration
- Ist F irgendeine Stammfunktion von f, so gilt
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab18d926a8d405db54b8a1a1ffae71795a85d09)
Spezielle Stammfunktionen
Die Stammfunktionen von
sind
![{\displaystyle F(x)={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c,\qquad n\not =-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a0a9fc8a5aefa7b3f3847bf007d442fe93feca2)
Alles weitere siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen
Integrationsmethoden
Produkt-, Teil- oder partielle Integration
- unbestimmt
![{\displaystyle \int f(x)g'(x)\mathrm {d} x=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27c60f5ae080415b4f49fe5bc675279d89591774)
![{\displaystyle \int f(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x=f(x)\cdot G(x)-\int f'(x)\cdot G(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc175f3885d5a41ccd48b44e971632997e8623bb)
- bestimmt
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\mathrm {d} x=[f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d740fbf93fba8f74edf2079e84b13caa8f896e53)
Integration durch Substitution
- unbestimmt
![{\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x=\int f(\varphi (t))\varphi '(t)\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c0a097bea5ea8078be32a7c51313185679354b2)
- bestimmt
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\mathrm {d} t=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9206510146d2553f287d00c16ec8800bdd81c183)
- Spezialfall: lineare Substitution
![{\displaystyle \int f(mx+n)\mathrm {d} x={\frac {1}{m}}F(mx+n)+C,\qquad m\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/785505be52cf3f9e5ccfd50bfc37b44ab99313ff)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(mx+n)\mathrm {d} x={\frac {1}{m}}\lbrack F(mx+n)\rbrack _{a}^{b},\qquad m\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dbccfcd946c7a5a5d3ffc0fede28a0b6534c0ea)
- Spezialfall: logarithmische Integration
![{\displaystyle \int {\frac {f'(x)}{f(x)}}\mathrm {d} x=\ln |f(x)|+C,\qquad f(x)\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b902b88ca9a04919e80cee6ff090f29e4c2558fd)
Angewandtes
Volumenbestimmung
- Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a,b]
![{\displaystyle \pi \cdot \int _{a}^{b}f^{2}(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022009f046c817d086732f73721f69055d47fa62)
- Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen der umkehrbaren Funktion f und der y-Achse im Intervall [a,b]
![{\displaystyle \pi \cdot \int _{f(a)}^{f(b)}(f^{-1}(y))^{2}\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4daeed02252d7073463581781d972d2354a11cc)
- Volumen des Körpers, der bei y-Rotation der Fläche, welche durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], der x-Achse und den beiden Geraden
und
begrenzt wird, entsteht ![{\displaystyle 2\pi \cdot \int _{a}^{b}(x\cdot f(x))\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a38385328aba902aee0ac851360a4955c0871c)
Oberflächeninhalt
Volumen
Länge der erzeugenden Linie (Profillinie)
Flächeninhalt der erzeugenden Fläche
Radius des Schwerpunktkreises - Erste Regel
![{\displaystyle M=L\cdot 2\pi R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed22cd849f559833673807bb4cfcdfd47560327)
Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion f(x) der erzeugenden Linie ergibt sich dies als:
- bei Rotation um die x-Achse
![{\displaystyle M=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/812752f64957bfffad25c9c5dffb7a9f4ee05c11)
- bei Rotation um die y-Achse
![{\displaystyle M=2\pi \int _{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))}f^{-1}(y){\sqrt {1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^{2}}}\mathrm {d} y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60dbd3e3c04d90026dc884f4e2fe34a9693b389b)
- Zweite Regel
-
![{\displaystyle V=A\cdot 2\pi R.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f0af2fa209e8f9f517c251dc416a588cdac8e7)
Im Fall der Rotation um die x-Achse einer Fläche zwischen
, der x-Achse und den Grenzen
und
ergibt sich das Volumen ausgedrückt durch
mit
als Flächenschwerpunkt zu
![{\displaystyle V=A\cdot 2\pi {\tfrac {1}{A}}\int _{A}y\mathrm {d} A=\pi \cdot \int _{a}^{b}(f(x))^{2}\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d73e0157a18747100b55056b36ebd234efb433cd)
mit
und
Weiteres
- Ist f auf [a,b] stetig, so heißt
der Mittelwert der Funktionswerte von f auf
![{\displaystyle {\bar {m}}={\frac {1}{b-a}}\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a785b44c1baf91a5a95a8fed02ea5418e34b3e7)
- Länge des Bogens der differenzierbaren Funktion f im Intervall [a,b]:
![{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567dddae40338fb66b3d9285c3f7eca54dc6c40c)
- Zerlegungssummen
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx hf(x_{1})+hf(x_{2})+\cdots +hf(x_{n})\qquad {\text{mit }}h={\frac {b-a}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ffa2d49f0941254df494f982269b9fed19c72b)
- Keplersche Fassregel
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {1}{6}}\cdot \left(f(a)+4\cdot f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20cc3b79c3db0fd9c8d6985d6cea3356cea73c24)
- Trapezregel
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {f(b)+f(a)}{2}}\cdot (b-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ed0410670adb851d55661ab2b591a4ccdcd13ab)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{2n}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+\cdots +2f(x_{n-1}+f(x_{n})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/520af81f0efbefaf1f02f4c13b270c20935ef940)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{2}}\cdot {\frac {b-a}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0741fa68e231e2632e5f787804578a3b95ad4a44)
- Simpsonregel
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec5c927729059e393b01aeb355130fa15adc057)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{6n}}\cdot \left(f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots f(x_{n})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0fcf5b640602a2f22d50dffca6e4a1033e4ee15)
Quellen