Notation
- Buchstaben am Anfang des Alphabets
stehen für beliebige Zahlen. - Buchstaben in der Mitte des Alphabets
stehen für natürliche Zahlen. - Buchstaben am Ende des Alphabets
stehen für Variablen. - Es gilt die Operatorrangfolge (Punktrechnung vor Strichrechnung): Rechenoperationen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) binden stärker als die der ersten Stufe (Addition und Subtraktion) und Rechenoperationen der dritten Stufe (Wurzelziehen und Potenzieren) stärker als die der zweiten Stufe.
- Es gilt die Klammerregel: Stehen Operationen in Klammern, so werden diese zuerst ausgeführt. Stehen Operationen der gleichen Stufe ohne Klammern hintereinander, so werden die Operationen von links nach rechts ausgeführt.
Grundrechenarten
Rechenoperationen
Addition
(Summand + Summand = Summe)
Subtraktion
(Minuend − Subtrahend = Differenz)
Multiplikation
(Faktor · Faktor = Produkt)
Division
(Dividend : Divisor = Quotient)
- Die Division durch null ist dabei nicht definiert.
Klammerregeln
![{\displaystyle a+(b+c)=a+b+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dca8e09d8e064b7c426b2ecc8131ae29cea311f1)
![{\displaystyle a+(b-c)=a+b-c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1becbbdb1497a2db569ce5ad7aa114ad22922a15)
![{\displaystyle a-(b+c)=a-b-c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cfe47f82025d8de6fe2f92de76c38168e3b1a64)
![{\displaystyle a-(b-c)=a-b+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c3756572c1d79babf4967bf2fae98bf45e7f11)
Rechengesetze
Assoziativgesetze
![{\displaystyle a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1ec70f87b1d19ebecb168202bff386a990f2fc)
![{\displaystyle a\cdot \left(b\cdot c\right)=\left(a\cdot b\right)\cdot c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9393fb90d0bb44b4d2157f5fe96c75aa465ec23)
Kommutativgesetze
![{\displaystyle a+b=b+a\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6efae6ef01e9f501f27a6dd2841a5d20d0eb0a)
![{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4b7dede7493e0231b3ad6ff9b54f4eae954108)
Distributivgesetze
![{\displaystyle a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55dc44512407f238928910ea3cb636eaf5750f06)
![{\displaystyle \left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f11efa4f12a90b68a31fedb256a3f4d88cf71cc)
Neutralität von
und
![{\displaystyle a+0=0+a=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/649814bd8a1a695a94e5cd97b36b480264009912)
![{\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b73fdbfb3f6e3c6add8faaf5fc6aa331b88bac0)
![{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c51d1871e418861b68afe47f23a79fc72bd083c)
![{\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c946b0b539d2091e1ddae725fd5a14ebbc2d2c42)
![{\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51470f84d0b288037c3f7557ec99d43638cf21b0)
Bruchrechnung
Bezeichnungen
Definition
(Zähler : Nenner)
- Zähler und Nenner sind ganze Zahlen, wobei der Nenner nicht null sein darf.
Spezialfälle
- Stammbruch:
![{\displaystyle a=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6104442ed30596ef4d7795d3186273f68d796ea4)
- Echter Bruch:
![{\displaystyle a<b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a7698e4c7401bb321f97888b872b583a9e4642)
- Unechter Bruch:
![{\displaystyle a>b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83fc0063781fb9bf4ec7608b2fd11ed6d5b05a13)
- Scheinbruch:
mit einer ganzen Zahl ![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
- Kehrbruch:
und
werden vertauscht
Rechenregeln
Vorzeichen
![{\displaystyle {\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}=-{\frac {a}{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a21de15a5787e5f71fb8bc452fc630baf4aa579a)
![{\displaystyle {\frac {-a}{-b}}={\frac {a}{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/064d6fb16509d1cabe618e112acf7be239e3ed8a)
Erweitern und Kürzen
für ![{\displaystyle c\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be27396bd0e62003728d08329a8767eee94409e2)
Addition
![{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d+c\cdot b}{b\cdot d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240291147c2324a57526a276102bb6546d25fd19)
Subtraktion
![{\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d-c\cdot b}{b\cdot d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1796cb39feaada711871f866222238f9c546c3f4)
Multiplikation
![{\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632c4db9b5e9c6918d4141a0363420482ea8e968)
Division
![{\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a70bf8986c44b41ae3f25eac170a127e04171a)
Prozentrechnung
Definitionen
(Prozentsatz = Prozentwert : Grundwert)
(Promillesatz = Promillewert : Grundwert)
Prozentsätze häufig benutzter Anteile
Anteil am Grundwert | ![{\displaystyle {\frac {1}{100}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3620801d9068718ecf6e30de8efcb95026dd871d) | ![{\displaystyle {\frac {1}{50}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f2c68868f22f7d91d44c08ac5ea1b525df2c37) | | ![{\displaystyle {\frac {1}{25}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d26055f0292f8f0bf35192ae47db6e1c02a3bd0) | ![{\displaystyle {\frac {1}{20}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cb0f52951c8c9d6f11ba06fa832fa8dd510f92) | | ![{\displaystyle {\frac {1}{15}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f3a25ae0be957ffee66501f20e4eb4ebd809b5) | ![{\displaystyle {\frac {1}{12}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff11356aa26897b393d8263bbc42082509b26e0b) | | |
Prozentsatz | 1 % | 2 % | 2,5 % | 4 % | 5 % | 6,25 % | ≈6,67 % | ≈8,33 % | ≈9,09 % | 10 % |
|
Anteil am Grundwert | ![{\displaystyle {\frac {1}{9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e41e551372333b5c0d7d525ecf3797d67f980a) | ![{\displaystyle {\frac {1}{8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f20dc5ae5815ab8628a1294c40639574e0c88e) | | ![{\displaystyle {\frac {1}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba1caf4c96d913f6aafa9da0634f069fa42e0290) | ![{\displaystyle {\frac {1}{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b977656fee2fb2e66210e174d78e2a484f89e45) | | ![{\displaystyle {\frac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7093420fb1b77a06432a4e0d9eba91705cef6d02) | ![{\displaystyle {\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11cfb2fdb143693b1daf78fcb5c11a023cb1c55) | | |
Prozentsatz | ≈11,11 % | 12,5 % | ≈14,29 % | ≈16,67 % | 20 % | 25 % | ≈33,33 % | 50 % | ≈66,67 % | 75 % |
Elementare Rechenoperationen
Potenz
Definitionen
Natürlicher Exponent:
(Potenz = Basis hoch Exponent)
Negativer Exponent:
![{\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c633cad77083697a0ab944d0018590fee0622f60)
Rationaler Exponent:
![{\displaystyle x=a^{m/n}\;\Leftrightarrow \;x^{n}=a^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32f685ac2774cc526bc152388a94ba6aca277baa)
Hierbei ist
eine nichtnegative rationale Zahl und
sind natürliche Zahlen.
Spezialfälle
für
, siehe Null hoch null
für ![{\displaystyle n\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5920e98ff3dd1cb41e01f76243300450c958d5e5)
Potenzgesetze
![{\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11119684e2d8f8d3fc8e7c21a825d5cd48e18c59)
![{\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884018dbd9271fc772f0196f0db1c63cd2f8a211)
![{\displaystyle ({a^{m}})^{n}=a^{m\cdot n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c507cebf4c0da3532156e875ff06beebafc549)
![{\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2f28874ba887580500487f9db0fdce20cfc5bb)
![{\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5265c97d2e16363415c02c27c4c26b7a17b928b)
Definition und Rechenregeln können auf reelle Zahlen erweitert werden.
Wurzel
Definition
(n-te Wurzel, a heißt Radikand, n Wurzelexponent)
- Hierbei ist
eine nichtnegative reelle Zahl und
eine natürliche Zahl größer als eins
Spezialfälle
(Quadratwurzel)
(Kubikwurzel)
Wurzelgesetze
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2211e22214f87e6a2303d3d4c2465a3229984bde)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}=a^{\frac {m}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef3ea6c9cf54c191d94d10de26802d0e6345f89)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a\cdot b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1cdc44e892d181f2e52332608a940e0d9f9a6b)
![{\displaystyle {{\sqrt[{n}]{a}} \over {\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{n}]{a \over b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ea0c0652a15f75851a38de3e3b2a0164134b2c)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{n\cdot m}]{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b84dc4a86508aa9a7734d39880f066de0ccebe38)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{m}]{a}}={\sqrt[{n\cdot m}]{a^{n+m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97dfa858fd1abab37d1164dd17b7faf10a3720ef)
![{\displaystyle {\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{n\cdot m}]{a^{m-n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f4563786ec00b4f43fe841387088a492f1453ab)
Logarithmus
Definition
(Logarithmus der Zahl a zur Basis b)
- Hierbei sind
positive reelle Zahlen.
Spezialfälle
(binärer Logarithmus)
(natürlicher Logarithmus)
(dekadischer Logarithmus)
![{\displaystyle \log _{b}1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eda5272a45280067da7452d83fd09d936a08f0e)
![{\displaystyle \log _{b}b=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a4484e07ad50b41ff44bff21db1f0c32dffb12)
Logarithmengesetze
![{\displaystyle \log _{b}(a\cdot c)=\log _{b}a+\log _{b}c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c673c2f40eb3788620ec835d809d524617851b65)
![{\displaystyle \log _{b}\left({\frac {a}{c}}\right)=\log _{b}a-\log _{b}c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cae79bc2f4ca3e102d5fb74a2827c286504bbfb)
![{\displaystyle \log _{b}\left(a^{c}\right)=c\cdot \log _{b}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164b6194a6e0bcb558b286941611f602aeeea9f8)
![{\displaystyle \log _{b}a={\frac {\log _{c}a}{\log _{c}b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee3e6a5a5f2ccb5bd60dcdf57805f323173e72b)
Elementare Funktionen
Betrag
Definition
![{\displaystyle |a|={\begin{cases}\;\;\,a&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad a>0\\\;\;\,0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad a=0\\-a&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad a<0\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988e64bc7684e9e641500a3b3013c6b28b8d1f62)
Eigenschaften
![{\displaystyle |a|=0\;\Leftrightarrow \;a=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7fe36f2463c11af296daef4ed8011afad978256)
![{\displaystyle |a\cdot b|=|a|\cdot |b|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4122cded2d18bdd6777d625dc311e023d51a46d)
(Dreiecksungleichung)
Vorzeichen
Definition
![{\displaystyle \operatorname {sgn}(a)={\begin{cases}\;\;\,1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad a>0\\\;\;\,0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad a=0\\-1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad a<0\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672477ad71f44409d62a40a8a91fe32d915811c0)
Eigenschaften
für ![{\displaystyle a\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f)
![{\displaystyle \operatorname {sgn} |a|=|\operatorname {sgn} a|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b19d98f08bcb21f0af57d22302a35c74214847)
![{\displaystyle \operatorname {sgn}(a\cdot b)=\operatorname {sgn}(a)\cdot \operatorname {sgn}(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29cfc7d1056b9669a98960934ca0e370efa58f90)
Ab- und Aufrundung
Definitionen
(Abrundung)
(Aufrundung)
Eigenschaften
![{\displaystyle {\bigl \lfloor }\lfloor a\rfloor {\bigr \rfloor }={\bigl \lceil }\lfloor a\rfloor {\bigr \rceil }=\lfloor a\rfloor }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37df5aa36b2f2450cca21c106ac394f938bd52f)
![{\displaystyle {\bigl \lceil }\lceil a\rceil {\bigr \rceil }={\bigl \lfloor }\lceil a\rceil {\bigr \rfloor }=\lceil a\rceil }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/141b2e5dc368a9becbe60488767835a96ab6b209)
![{\displaystyle \lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor \leq \lfloor a+b\rfloor \leq \lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f8ac796e88c709bdf23bf9de48b6bd40b447d2)
![{\displaystyle \lceil a\rceil +\lceil b\rceil \geq \lceil a+b\rceil \geq \lceil a\rceil +\lceil b\rceil -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a0c285d9bc499aaf95a9a00f1c8841db978fee)
Gleichungen
Lösen von Gleichungen
![{\displaystyle a=b\;\Leftrightarrow \;b=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/becc0a7d2d16499e51594622ad8b1f3d382fdebe)
![{\displaystyle a=b\;\Leftrightarrow \;a+c=b+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5404fb754868072c5492f7a3a8de47b7cef4f8)
![{\displaystyle a=b\;\Leftrightarrow \;a-c=b-c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3fdb39fa66bb6e73cea919940bbd27b542476a1)
für ![{\displaystyle c\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be27396bd0e62003728d08329a8767eee94409e2)
für ![{\displaystyle c\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be27396bd0e62003728d08329a8767eee94409e2)
für jede bijektive Funktion ![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
Lineare Gleichungen
Allgemeine Form
![{\displaystyle a\cdot x=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287eeadb64ac963840d9d27237db4cdb466a8269)
Lösungen
falls ![{\displaystyle a\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f)
- keine Lösung falls
![{\displaystyle a=0,b\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e443609e5c744f009db5488103af766bf3d342)
- unendlich viele Lösungen falls
![{\displaystyle a=0,b=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58900c94554db5a5750abe4dba66ab0eb501387)
Quadratische Gleichungen
Allgemeine Form
mit ![{\displaystyle a\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f)
Diskriminante
![{\displaystyle D=b^{2}-4ac}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6bcb215ab604811ee3d29f00c543edf6c14a9e)
Lösungen
falls ![{\displaystyle D>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364065378f034883c14d3a3000ebccc021bd2105)
falls ![{\displaystyle D=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d375dfda80ee8df1d1d7aa8b962114044e464305)
- keine reelle Lösung falls
![{\displaystyle D<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533c6100feca217e3212231f4a5ab7342bacdbf0)
Quadratische Ergänzung
![{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720784a088232e802e3307f5542cc305031d39d1)
p-q-Form
![{\displaystyle x^{2}+px+q=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1447b7f80b86966dc9f431ba415b2de2608e50e)
Diskriminante
![{\displaystyle D={\frac {p^{2}}{4}}-q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f0dab8b9317f3268bdb667823f1beafe161b36)
Lösungen
falls ![{\displaystyle D>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364065378f034883c14d3a3000ebccc021bd2105)
falls ![{\displaystyle D=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d375dfda80ee8df1d1d7aa8b962114044e464305)
- keine reelle Lösung falls
![{\displaystyle D<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533c6100feca217e3212231f4a5ab7342bacdbf0)
Satz von Vieta
![{\displaystyle p=-(x_{1}+x_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36e63cf93f6b8c9a3a1eaf088dae746b1b57989c)
![{\displaystyle q=x_{1}\cdot x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6cd4fff994682f325c60337dc278ee14618e60)
Algebraische Gleichungen
Allgemeine Form
![{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d802f53156feb275577cffa6333c95af90ad62)
Lösungen
als komplexe Lösungen, nicht notwendigerweise verschieden (Fundamentalsatz der Algebra)
Zerlegung in Linearfaktoren
![{\displaystyle a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\dotsm (x-x_{n})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1505d2f0b0dee4627900a048b10b7e31d5ffbab1)
Polynomdivision
wobei ![{\displaystyle \operatorname {grad} p\geq \operatorname {grad} q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f411846be04c3bfdf6dd61d92fbea966db9d5f)
wobei ![{\displaystyle \operatorname {grad} q\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f25de5fcc22369b9e57e9e170cf7170d7acbab0)
Ungleichungen
Lösen von Ungleichungen
![{\displaystyle a<b\;\Leftrightarrow \;b>a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f596d64f2b861799380df741d9caac7f9650ec4)
![{\displaystyle a<b\;\Leftrightarrow \;a+c<b+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105d500b11965d8e5cdb6e389760bbeb5986c712)
![{\displaystyle a<b\;\Leftrightarrow \;a-c<b-c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7b8f4c0919c7e7ed60edaf5b108d497fd6efcd)
![{\displaystyle a<b\;\Leftrightarrow \;{\begin{cases}a\cdot c<b\cdot c&{\text{falls}}~c>0\\a\cdot c>b\cdot c&{\text{falls}}~c<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eac8e68f2caee922451dcdf10be8dc340d122a03)
![{\displaystyle a<b\;\Leftrightarrow \;{\begin{cases}a:c<b:c&{\text{falls}}~c>0\\a:c>b:c&{\text{falls}}~c<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc89e66dfdaaaeea68089b50212c80da0d8ff847)
![{\displaystyle a<b\;\Leftrightarrow \;{\begin{cases}f(a)<f(b)&{\text{falls}}~f~{\text{bijektiv streng monoton steigend ist}}\\f(a)>f(b)&{\text{falls}}~f~{\text{bijektiv streng monoton fallend ist}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8117613aab762c46fa22f3e9ffb588ee070bfd)
- Die Umformungsregeln gelten analog auch für
.
Spezielle Ungleichungen
Dreiecksungleichung
für alle ![{\displaystyle a,b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8)
Bernoullische Ungleichung
für
und ![{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a19cb2cfd4f9ebdbc8e5cbb9b92ecb9ace85cab)
Youngsche Ungleichung
für
und
mit ![{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0258202dfc8069365da867d2ef863a2a53f04ef)
Ungleichungen bei Mittelwerten
Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel
für
und ![{\displaystyle n=2,3,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d482bc93abe72f6a0e68518aa52ddb5fca3a51)
Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel
für
und ![{\displaystyle n=2,3,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d482bc93abe72f6a0e68518aa52ddb5fca3a51)
Komplexe Zahlen
Darstellung
mit Realteil
, Imaginärteil
und der imaginären Einheit ![{\displaystyle \mathrm {i} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f0f09f6fc40e634d34aed6e205ac0f7a40e062)
(Komplexe Konjugation)
Potenzen der imaginären Einheit
![{\displaystyle \mathrm {i} ^{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122d407683c2d428546f3eabcbbb8601037a8e4a)
![{\displaystyle \mathrm {i} ^{1}=\mathrm {i} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/453979e6d6f38f07e84c8f41a7542e2bcc6d0654)
![{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1903180d4ecaf05f4aef81a8ad389025f89c9d34)
![{\displaystyle \mathrm {i} ^{3}=-\mathrm {i} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba9cc58c80f0c8410c21d716a6f52500a7f90d6)
Allgemein für
:
![{\displaystyle \mathrm {i} ^{4n}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c6e2303238995dc369fd7300c431c7188f4ea8)
![{\displaystyle \mathrm {i} ^{4n+1}=\mathrm {i} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad9acec6dff2cbbab81e152194f11cd1fd5d435)
![{\displaystyle \mathrm {i} ^{4n+2}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b635970ce606236802aebe335c7be5fea548598f)
![{\displaystyle \mathrm {i} ^{4n+3}=-\mathrm {i} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64790f53e3456e45075230773e4bd7925ab9b982)
Arithmetische Operationen
![{\displaystyle (a+\mathrm {i} b)+(c+\mathrm {i} d)=(a+c)+\mathrm {i} (b+d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f6b1f5a66513d13e6c3f83624428e3e7ac8e58)
![{\displaystyle (a+\mathrm {i} b)-(c+\mathrm {i} d)=(a-c)+\mathrm {i} (b-d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab7bb3c189659b47d2cdd7f805b85504bce456d)
![{\displaystyle (a+\mathrm {i} b)\cdot (c+\mathrm {i} d)=ac-bd+\mathrm {i} (ad+bc)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050dcc4440bcaf116a8490879723851da7dd791f)
für ![{\displaystyle c^{2}+d^{2}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c8a872d23d8b27da02f617f51473116e695c220)
Darstellung
mit dem Betrag
und dem Argument ![{\displaystyle \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
Betrag
![{\displaystyle r=|z|={\sqrt {z\cdot {\bar {z}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9598f18ec79ca50a7b14727ffe038412db7c683f)
Argument
![{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arctan {\frac {b}{a}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a>0\\\arctan {\frac {b}{a}}+\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a<0,b\geq 0\\\arctan {\frac {b}{a}}-\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a<0,b<0\\\pi /2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a=0,b>0\\-\pi /2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a=0,b<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3b478bda97b4b55a16a31642e28eea9a61ee12)
- oder
![{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arccos {\frac {a}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ b\geq 0\\\arccos \left(-{\frac {a}{r}}\right)-\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ b<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc9d12751aed2f1660e7f269f268bb4a35bf0b4)
Darstellung
mit der eulerschen Zahl ![{\displaystyle e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)
(Eulersche Formel)
Umrechnungsformeln
![{\displaystyle \sin \varphi ={\frac {e^{\mathrm {i} \varphi }-e^{-\mathrm {i} \varphi }}{2\mathrm {i} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e185ec1c59f94f168d4e4c56eb1f9b327b22052)
![{\displaystyle \cos \varphi ={\frac {e^{\mathrm {i} \varphi }+e^{-\mathrm {i} \varphi }}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6176a3786949bb26bbebbd8d71a1022a57d95b3)
Arithmetische Operationen
![{\displaystyle (r\cdot e^{\mathrm {i} \varphi })\pm (s\cdot e^{\mathrm {i} \psi })={\sqrt {r^{2}+s^{2}\pm 2rs\cos(\varphi -\psi )}}\cdot e^{\mathrm {i} \operatorname {atan2} \left(r\sin \varphi \pm s\sin \psi ,r\cos \varphi \pm s\cos \psi \right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e990b665498dafc1f581d874d0481f45806ca98)
![{\displaystyle (r\cdot e^{\mathrm {i} \varphi })\cdot (s\cdot e^{\mathrm {i} \psi })=(r\cdot s)\cdot e^{\mathrm {i} (\varphi +\psi )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e6224270e49642db9438a0c45490aa68e48424)
![{\displaystyle (r\cdot e^{\mathrm {i} \varphi }):(s\cdot e^{\mathrm {i} \psi })=(r:s)\cdot e^{\mathrm {i} (\varphi -\psi )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d4f0052416cfc565567a9cbf6d0e926fbed3f00)
Potenzen
![{\displaystyle (r\cdot e^{\mathrm {i} \varphi })^{n}=r^{n}\cdot e^{\mathrm {i} n\varphi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca075c311a83e9a2ac2476f6e0be051c4cc7e4a0)
Wurzeln
für
(Einheitswurzeln)
für ![{\displaystyle k=0,1,\dots ,n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54b58b21e6bc86e9b07ff880fa04298e5634716)
Rechenregeln
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=n\cdot c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4b8e7d535ee1771524dafd6036f28a81a2297b)
![{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}c=(n-m+1)\cdot c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7835dc883885d87d82be10e21aa5aaa7073925bb)
![{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}c\cdot a_{i}=c\cdot \sum _{i=m}^{n}a_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77c39a9ba43f958d0e08d7d533457b590c061f0)
![{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i=m}^{n}a_{i}+\sum _{i=m}^{n}b_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7ccea1c1c5946200a41446d5b335085bc8b556)
![{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}a_{i}=\sum _{i=m-r}^{n-r}a_{i+r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/867b7774ae3b831d31af8b956c5133753c9d0434)
(Teleskopsumme)
Arithmetische Reihe
(Gaußsche Summenformel)
Geometrische Reihe
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}k^{i}={\frac {1-k^{n}}{1-k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6574f5a603c1ade107faaac5f004cae69443af7)
Eine Version, die für alle Halbringe geeignet ist:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\\sum _{i=0}^{n-1}k^{i}&k^{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\1&k\end{pmatrix}}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a806790af5886136e12f1c42c5d049483e197c)
Potenzsummen
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29af589c1d0beb89d1a6a7c160ae186b7234aa26)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a7b7fc1dfef1ed5419c2d1680cbffb694c11d72)
- Für weitere Potenzsummen siehe Faulhabersche Formel.
Kombinatorische Summen
Binomischer Lehrsatz
![{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b08af89e3f5d840c69ebdd014672815aeb38ce)
Multinomialtheorem
![{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{k}a_{i}\right)^{n}=\sum _{n_{1}+\ldots +n_{k}=n}{n \choose n_{1},\ldots ,n_{k}}\,\cdot \,a_{1}^{n_{1}}\cdot a_{2}^{n_{2}}\cdots a_{k}^{n_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d44ac5ac179059ff6deda881150c2b87553da5)
Ungleichungen bei Summen
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
für alle
und ![{\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7389994e90739b7655c98f25fd55964153fb231c)
Tschebyscheff-Ungleichungen
für alle
und ![{\displaystyle b_{1}\geq \ldots \geq b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06ca861aeeafcb4e55c14d3e1bbb2581a77b457)
für alle
und ![{\displaystyle b_{1}\leq \ldots \leq b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c58f63b86a6072c914f8c073a00483d7cdf243e)
Minkowski-Ungleichung
für alle
und
sowie ![{\displaystyle p\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf93c1353080a21b276e79058d82c19c40310653)
Hölder-Ungleichung
für alle
und
sowie
mit ![{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0258202dfc8069365da867d2ef863a2a53f04ef)
Jensensche Ungleichung
für jede konvexe Funktion
,
mit
und alle ![{\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7389994e90739b7655c98f25fd55964153fb231c)
Literatur