Dieser Artikel behandelt die Freifallzeit in der Astronomie. Für die Bedeutung beim Fallschirmspringen siehe Fallschirmspringen#Allgemeines.
Die Freifallzeit
bezeichnet in der Astronomie die Zeit, die eine ausgedehnte Gaswolke oder ein Stern unter der Wirkung ihrer eigenen Gravitation zum Kollaps auf einen Punkt benötigt, wenn alle Kräfte außer der Gravitation außer Acht gelassen werden. Das Modell ist aufgrund seiner Annahmen mehr dazu geeignet, die Formierung eines Sterns aus einer Gaswolke zu beschreiben (siehe Sternentstehung) als die Formierung eines Schwarzen Lochs aus einem Stern (siehe Gravitationskollaps).
Insbesondere wird in dem Modell vernachlässigt,
- dass durch den Kollaps Bindungsenergie frei wird, die zu einem Strahlungsdruck führt,
- dass die Atome des Sterns aufgrund des Pauli-Prinzips einander nicht beliebig nahe kommen können, was zu einem Entartungsdruck führt,
- und dass die Näherung der klassischen Beschreibung der Gravitation bei hohen Materiedichten zusammenbricht und eine Beschreibung durch die Allgemeine Relativitätstheorie erforderlich wird.
Unter Vernachlässigung dieser Aspekte ergibt sich für die Freifallzeit nach einer klassischen Berechnung für eine kugelförmige, homogene Gaswolke ohne innere Energie:
![{\displaystyle t_{\mathrm {ff} }={\sqrt {\frac {\pi ^{2}R^{3}}{8GM}}}={\sqrt {\frac {3\pi }{32G\rho }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c01ffab44cd627b2c8d586c12cfbb32c59d21a)
Dabei sind
die Gravitationskonstante,
der Radius des Sterns,
seine Masse und
seine konstante Dichte.
Herleitung
Für jede infinitesimal dünne Massenschale der Gaswolke im Abstand
vom Zentrum gilt in Verbindung mit dem Newtonschen Schalentheorem das Newtonsche Gravitationsgesetz:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}=-G{\frac {M_{r}}{r^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91cdf2b22a9d9945805f3b93fa164c59e7c47e10)
Dabei ist
die innerhalb dieser Schale befindliche Masse. Diese bleibt während des Kollapses konstant und daher gleich ihrem Anfangswert
beim Radius
:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=-GM_{r_{0}}\cdot r^{-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24f9e7d02ec437e53c95ceb5745675935ccbae3)
Multiplikation mit
und anschließende Integration mit dem Anfangswert
liefert
![{\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}=GM_{r_{0}}\cdot \left(r^{-1}-r_{0}^{-1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eda1450c97c04a39da8aa2171e33c3befa3c970)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}=-{\sqrt {2GM_{r_{0}}\cdot \left(r^{-1}-r_{0}^{-1}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435eb5d3e50bdbb50cdd81b14ae299bc726472ee)
(denn zu einem positiven
gehört bei einem Kollaps natürlich ein negatives
). Separation der Variablen ergibt nun
![{\displaystyle \mathrm {d} t=-{\sqrt {\frac {r_{0}}{2GM_{r_{0}}}}}\cdot {\sqrt {\frac {r}{r_{0}-r}}}\cdot \mathrm {d} r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52001fd34eca792eeb00ccc80038a860a3670a57)
und die zweite Integration liefert (wie sich durch Ableiten leicht verifizieren lässt):
![{\displaystyle t(r)={\sqrt {\frac {r_{0}^{3}}{2GM_{r_{0}}}}}\cdot \left({\sqrt {{\frac {r}{r_{0}}}\left(1-{\frac {r}{r_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\frac {r}{r_{0}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e637666a72ee616624bfa10d7177e3e4a81c956)
Der Klammerterm auf der rechten Seite strebt für
gegen
sodass sich für die Freifallzeit der Massenschale
![{\displaystyle t_{\mathrm {ff} }=t(0)={\frac {\pi }{2}}\cdot {\sqrt {\frac {r_{0}^{3}}{2GM_{r_{0}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e261b66976d265154cad1be27633feca054631)
ergibt. Einsetzen von
zeigt, dass
unabhängig von der Startposition
ist, sodass alle Teilchen zugleich im Zentrum ankommen:
![{\displaystyle t_{\mathrm {ff} }={\frac {\pi }{2}}\cdot {\sqrt {\frac {r_{0}^{3}}{2G{\frac {4\pi \rho r_{0}^{3}}{3}}}}}={\sqrt {\frac {3\pi }{32G\rho }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d2d2137ce84e43edbe8edc6193d18d5157f6e2)
Man darf also für
auch den Sternradius
setzen, womit dann
zur Sternmasse
wird:
![{\displaystyle t_{\mathrm {ff} }={\frac {\pi }{2}}\cdot {\sqrt {\frac {R^{3}}{2GM}}}={\sqrt {\frac {\pi ^{2}R^{3}}{8GM}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96c5eb4d6ec9e46b55100f218bb97ef9df63a0e)
Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass eine Gaswolke nicht vollständig auf einen Punkt kollabiert, bevor die stellare Kernfusion zündet, kann man (statt bis ins Zentrum
zu integrieren) bei einem endlichen Radius
Halt machen. Obiges
bleibt trotzdem näherungsweise gültig, sofern
gilt.
Literatur
- Rudolf Kippenhahn, Alfred Weigert: Stellar Structure and Evolution. 1. Auflage. Springer, 1990, ISBN 978-3-642-61523-8, S. 256 f. (englisch).