Gabor-Transformation
Die Gabor-Transformation (nach Dennis Gábor) ist eine spezielle (und in bestimmter Weise optimale) gefensterte Fourier-Transformation. Sie ist eng verwandt mit der Wavelet-Theorie und wird in vielen Bereichen der digitalen Signal- und Bildverarbeitung eingesetzt. Sie ist ein Spezialfall der Kurzzeit-Fourier-Transformation.
Allgemeines
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Wavelet_Gabor.svg/220px-Wavelet_Gabor.svg.png)
Jede lokale Veränderung eines Signals bewirkt eine Änderung der Fourier-Transformierten (FT) von über der gesamten Frequenzachse. So überdeckt zum Beispiel der Graph der FT der Delta-Distribution (Dirac-Funktion) den gesamten Frequenzbereich. Die FT enthält daher keine lokalen Informationen des Signals . Dies bedeutet andererseits, dass die Information des Frequenzspektrums den Zeitpunkt, in dem die Frequenz auftritt, nicht unmittelbar angibt. Eine Möglichkeit der Lokalisierung in der Zeit bietet die Kurzzeit-Fourier-Transformation (englisch short-time Fourier transform, kurz STFT), mit der der momentane Frequenzinhalt in einem Fenster um den Punkt beschrieben werden kann. Dabei wird für üblicherweise eine schnell auf 0 abfallende Funktion gewählt, damit sie als Fenster wirkt.
Die Fourier-Transformierte mit Fenster ist somit von zwei Parametern abhängig, der Frequenz und dem Zentrum der Lokalisierung . Man spricht deshalb auch von einer Darstellung im Zeit-/Frequenzbereich.
Die STFT mit einer Gauß-Funktion als Fensterfunktion wurde von Dennis Gábor 1946 verwendet:
Diese spezielle STFT heißt Gabor-Transformation. Bezeichnet man das Ergebnis der Gabortransformation von mit so ergibt wegen der Symmetrie von
Im Zeitbereich stellt die Gaborfilterung daher bis auf den Faktor eine Faltung dar. Dieser Faktor bewirkt jedoch lediglich eine Phasenverschiebung und kann daher bei Anwendungen, die nur die Amplitude des Ergebnisses berücksichtigen, vernachlässigt werden (Siehe Gabor-Filter).
Da die Fouriertransformierte einer Gauß-Funktion wieder eine Gauß-Funktion ergibt, stellt das Ergebnis der Gabortransformation sowohl im Zeit- als auch im Frequenzraum lokale Information dar. Das Filter kann jede beliebige elliptische Region des Zeit- oder des Frequenzraums überdecken. Ferner erzielt die Gabortransformation – unabhängig von der Anordnung – maximale gleichzeitige Auflösung im Zeit- und Frequenzraum, das heißt die Gauß-Funktion erreicht als (einzige) Fensterfunktion das Minimum der Unschärferelation , wobei die Varianz der Fensterfunktion im Zeitbereich (Zeitunschärfe) und entsprechend die im Frequenzraum (Frequenzunschärfe) angibt. Daraus ergibt sich direkt der reziproke Zusammenhang zwischen den Unschärfen und damit ein wichtiger trade-off. Das heißt, um die Auflösung im Zeitbereich zu verdoppeln, muss eine halbierte Auflösung im Frequenzraum in Kauf genommen werden, und umgekehrt.
Siehe auch
- Laplace-Transformation
- Diskrete Fourier-Transformation
- Diskrete Kosinustransformation
- Wavelet-Transformation
- Gabor-Filter
Literatur
- Hans G. Feichtinger, Thomas Strohmer: „Gabor Analysis and Algorithms“, Birkhäuser, 1998; ISBN 0817639594
- Hans G. Feichtinger, Thomas Strohmer: „Advances in Gabor Analysis“, Birkhäuser, 2003; ISBN 0817642390
- Karlheinz Gröchenig: „Foundations of Time-Frequency Analysis“, Birkhäuser, 2001; ISBN 0817640223
Weblinks
- NuHAG homepage: viele weitere Links
- Gabor Server