Hilbert-Schema

In der algebraischen Geometrie parametrisiert das Hilbert-Schema die Unterschemata des projektiven Raums.

Für ein Polynom ${\displaystyle P}$ ordnet der Hilbert-Funktor

${\displaystyle h_{P}\colon \mathbf {Schemes} ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Sets} }$

jedem Schema ${\displaystyle B}$ die Menge der über ${\displaystyle B}$ flachen Unterschemata ${\displaystyle {\mathcal {X}}\subset P_{B}^{n}}$, deren Fasern über Punkten aus ${\displaystyle B}$ Hilbert-Polynom ${\displaystyle P}$ haben, zu.

Für ein Polynom ${\displaystyle P}$ ist das Hilbert-Schema ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{P}}$ das den Funktor ${\displaystyle h_{P}}$ darstellende Schema. ${\displaystyle h_{P}}$ ist also der Punktfunktor von ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{P}}$.

Die Eindeutigkeit von ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{P}}$ folgt aus dem Lemma von Yoneda, während die Existenz das Ergebnis einer schwierigen Konstruktion ist.^[1][2]

Das Graßmann-Schema ${\displaystyle G(d,n)}$ parametrisiert die Unterschemata von Grad 1 und Dimension ${\displaystyle d}$ in ${\displaystyle P_{S}^{n}}$ für ${\displaystyle S=\mathbb {Z} \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]}$. Dies sind aber genau die Schemata, deren Hilbert-Polynom ${\displaystyle H_{x}(m)=\left({\begin{array}{c}m+d\\d\end{array}}\right)}$ ist. Das Graßmann-Schema ist also das Hilbert-Schema zu diesem Polynom.

Die Hyperflächen vom Grad ${\displaystyle d}$ im ${\displaystyle P_{K}^{n}}$ werden parametrisiert durch den projektiven Raum des Vektorraums der homogenen Polynome vom Grad ${\displaystyle d}$ in ${\displaystyle n+1}$ Variablen. Dieser projektive Raum ist das Hilbert-Schema der Hyperflächen vom Grad ${\displaystyle d}$.

1. ↑ David Mumford: Lectures on curves on an algebraic surface. Annals of Mathematical Studies 59, Princeton University Press 1966.
2. ↑ Janós Kollár: Rational curves on algebraic varieties. Ergebnisse der Mathematik, 3. Folge 32, Springer-Verlag Berlin 1996.