Homotopie-Faser
In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Homotopie-Faser einer Abbildung ein nützlicher Begriff der Homotopietheorie.
Definition
Zu jeder stetigen Abbildung topologischer Räume
gibt es eine Homotopie-Äquivalenz , so dass
eine Faserung ist. Die Faser dieser Faserung heißt Homotopie-Faser von . Sie ist nur bis auf Homotopie-Äquivalenz eindeutig bestimmt.
Konstruktion
Inklusionen
Wir betrachten zunächst den einfacheren Fall, dass eine injektive Abbildung ist. In diesem Fall kann man konstruieren als Menge aller Wege in , die in enden.
- .
kann in als Menge der konstanten Wege eingebettet werden und man hat dann eine Homotopie-Äquivalenz . Die Abbildung definiert eine Faserung und für einen festen Punkt ist die Faser die Menge aller Wege in , die im festen Basispunkt starten und in enden.
Beispiel
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a4/Fundamental_group_torus2.png/220px-Fundamental_group_torus2.png)
Als ein Beispiel betrachten wir die Inklusion der Einpunktvereinigung in das Produkt . Die Homotopie-Faser ist mit der obigen Beschreibung die Vereinigung entlang des Durchschnitts . (Hier bezeichnet den Wegeraum und den Schleifenraum.)
Falls und den Homotopietyp von CW-Komplexen haben, ist diese Homotopie-Faser schwach homotopieäquivalent zum Verbund der beiden Schleifenräume.[1]
Allgemeine Abbildungen
Für eine nicht notwendig injektive Abbildung betrachte
- .
kann in mittels für den jeweils konstanten Weg eingebettet werden und man hat dann eine Homotopie-Äquivalenz . Die Abbildung definiert eine Faserung und für einen festen Punkt ist die Faser
Lange exakte Sequenz
Sei eine stetige Abbildung und ihre Homotopie-Faser. Dann hat man eine lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen
- .
Hier ist und ist der Weg in , der konstant ist.
Aus der Kenntnis der Homotopie-Faser erhält man also Zusammenhänge zwischen den Homotopiegruppen von und .
Literatur
- R. Bott, L. Tu: Differential forms in Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1982. (Seite 249–250)
Einzelnachweise
- ↑ T. Ganea: A generalization of the homology and homotopy suspension, Comm. Math. Helv. 39, 295–322, 1964.
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