In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, gibt es den Begriff intermediäre Ricci-Krümmung in zwei unterschiedlichen Bedeutungen. Im einen Fall wird zwischen Schnittkrümmung und Ricci-Krümmung interpoliert, im anderen zwischen Ricci-Krümmung und Skalarkrümmung.
Definitionen
Sei
eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Für zwei Vektoren
im Tangentialraum eines Punktes
bezeichnen wir jeweils mit
die Schnittkrümmung der von
und
aufgespannten Ebene in
.
Interpolation zwischen Schnittkrümmung und Ricci-Krümmung
Sei
. Dann ist die
-te intermediäre Ricci-Krümmung für
orthonormale Vektoren
in einem Tangentialraum
definiert als
![{\displaystyle \mathrm {Ric} _{k}(x,y_{1},\ldots ,y_{k}):=K(x,y_{1})+\ldots +K(x,y_{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/235992b010882006d4538a72b1fab0316ef8393a)
Für
erhält man die Schnittkrümmung
und für
die Ricci-Krümmung
.
Interpolation zwischen Ricci-Krümmung und Skalarkrümmung
Sei
. Dann ist die
-te intermediäre Ricci-Krümmung für
orthonormale Vektoren
in einem Tangentialraum
definiert als
![{\displaystyle \mathrm {Ric} _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k}):=\mathrm {Ric} (x_{1},x_{1})+\ldots +\mathrm {Ric} (x_{k},x_{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f8395d58c870ce1b9bb32a533e2410b9e06d230)
Für
erhält man die Ricci-Krümmung
und für
die Skalarkrümmung in
.
Literatur
- H. Wu, Manifolds of partially positive curvature. Indiana Univ. Math. J. 36, 525–548 (1987).
- S. Brendle, S. Hirsch, F. Johne, A generalization of Geroch´s conjecture. arXiv:2207.08617
Weblinks
- L. Mouillé: Intermediate Ricci Curvature