Eine Komplementärbasis eines Unterraums bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine Basis des zugehörigen Komplements.
Definition
Es seien
ein Vektorraum über einem Körper
,
ein Untervektorraum von
und
ein durch die Vektoren
erzeugter Unterraum. Dann heißt die Menge
Komplementärbasis von
in
, falls sie linear unabhängig ist und
gilt,
also die direkte Summe von
und
ist.
ist also ein komplementärer Unterraum von
und die Vektoren
bilden dazu eine Basis.
Seien
Skalare aus
. Dann lässt sich eine Komplementärbasis auch dadurch definieren, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein müssen:
- Lässt sich ein Element
aus der Linearkombination
darstellen, so muss folgen, dass
und alle Koeffizienten
(für
) sind. - Erzeugen die Vektoren
zusammen mit
den Vektorraum
.
(Wenn die erste Bedingung erfüllt ist, dann nennt man die Vektoren
auch linear unabhängig modulo
.)
Eigenschaften
- Sei
eine Basis von
. Genau dann ist
eine Komplementärbasis von
in
, wenn
eine Basis von
ist.
- Es gilt dann
.
- Jede Folge, die linear unabhängig modulo
ist, lässt sich zu einer Komplementärbasis von
in
ergänzen.