In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist der Kotangentialraum ein Vektorraum, der einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
zugeordnet wird. Es ist der Dualraum des entsprechenden Tangentialraums.
Definition
Sei
eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und
ihr Tangentialraum am Punkt
. Dann ist der Kotangentialraum definiert als der Dualraum von
. Das heißt, der Kotangentialraum besteht aus allen Linearformen auf dem Tangentialraum
.
Alternative Definition
Im Folgenden wird ein anderer Zugang dargestellt, bei dem der Dualraum direkt definiert wird, ohne Bezugnahme auf den Tangentialraum.
Diesem Zugang liegt folgende Idee zugrunde. Man legt eine Kurve in die Mannigfaltigkeit und macht Aussagen darüber, wie sich Werte einer Funktion, die ebenfalls auf der Mannigfaltigkeit definiert ist, beim Durchlaufen der Kurve, speziell in der Umgebung eines Punktes p, verändern. Man betrachtet das Geschehen im Bildbereich einer Kartenabbildung.
Es sei
eine
-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Weiter seien
die Menge aller glatten Kurven durch
![{\displaystyle c\colon (-\epsilon ,\epsilon )\to M\,,\qquad c(0)=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c21ed11a71779d914253ec944236b3bc8663658e)
und
die Menge aller glatten Funktionen, die in einer Umgebung
von
definiert sind:
.
Bezeichnet man mit
folgende Äquivalenzrelation auf
Umgebung von
mit
,
dann ist der Faktorraum
der Vektorraum der Keime über
. Über
![{\displaystyle \langle [f]_{p},c\rangle :={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\Big |}_{t=0}f\circ c(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea3bfe86602396659b3fc43d359f46b0932149bf)
wird dann eine formale Paarung
definiert, die in der ersten Komponente linear ist. Nun ist
![{\displaystyle {\mathcal {N}}_{p}:=\{[n]_{p}\in {\mathcal {F}}_{p}|\forall c\in \Gamma _{p}:\langle [n]_{p},c\rangle =0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d09a24e87a967525dfdfdd455149bd4b7ea0fa88)
ein linearer Unterraum von
, genauer gesagt der Nullraum bzgl.
und
![{\displaystyle T_{p}^{*}M:={\mathcal {F}}_{p}/{\mathcal {N}}_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95786efd9e3c2b9ee1a4999a8847b51490a2a549)
ist der
-dimensionale Kotangentialraum im Punkt
. Für den Kotangentialvektor
schreibt man auch
.
Zusammenhang zum Tangentialraum
Mit der obigen Definition kann man auf
eine Äquivalenzrelation
wie folgt definieren:
![{\displaystyle \gamma _{1}\sim \gamma _{2}\qquad \Leftrightarrow \qquad \forall df_{p}\in T_{p}^{*}M:\langle df_{p},\gamma _{1}\rangle =\langle df_{p},\gamma _{2}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e8da22a641819c336ce33bc5d948a2e7532be3)
Der Faktorraum
beschreibt gerade den
-dimensionalen Tangentialraum.
Bilden nun
eine Basis von
, so kann man zu jedem Basisvektor einen Repräsentanten
auswählen.
ist eine differenzierbare Karte und für jedes
kann man eine Kurve
![{\displaystyle {\begin{matrix}\gamma _{i}\colon &(-\epsilon ;\epsilon )&\to &M\\&t&\mapsto &x^{-1}(t\cdot e_{i})\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c73b3aae2c62f89a1a280d90147d16df0392914)
definieren, wobei
der
-te Einheitsvektor im
ist. Wegen
![{\displaystyle \langle dx_{i},[\gamma _{j}]\rangle =\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f28e50810df97a77531ef2bc98e124cbad5680a)
sind
und
dual zueinander und man schreibt für
auch
.
Rechtfertigung der Schreibweisen
Sei
,
,
eine beliebige Funktion und für
die Kurven
, wobei
die kanonischen Basisvektoren sind. Dann ist in den obigen Schreibweisen:
![{\displaystyle \langle [[f]_{p}],[\gamma _{i}]\rangle ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\Big |}_{t=0}f\circ \gamma _{i}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(p+h\cdot e_{i})-f(p)}{h}}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba032c898897c277579cb7f44261fd1e1dc7ad2b)
Somit ist die Schreibweise
gerechtfertigt.
Weiter ist mit
die lineare Abbildung
gerade das totale Differential
. Somit ist also auch die Schreibweise
gerechtfertigt.
Literatur
- John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.
- R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.