Kronecker-Symbol

In der Mathematik ist das Kronecker-Symbol eine Verallgemeinerung des Jacobi-Symbols ${\displaystyle \left({\frac {n}{m}}\right)}$ auf beliebige ganzzahlige ${\displaystyle m}$. Es wurde von dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker eingeführt^[1] und wird daher nach ihm benannt.

Es sei ${\displaystyle m}$ eine ganze Zahl ungleich 0 mit der Primfaktorzerlegung

${\displaystyle m=u\cdot p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}},}$

wobei ${\displaystyle u}$ eine Einheit ist (d. h. ${\displaystyle u=\pm 1}$) und die ${\displaystyle p_{i}}$ Primzahlen bezeichnen. Ist ${\displaystyle n}$ eine ganze Zahl, so ist das Kronecker-Symbol ${\displaystyle \left({\frac {n}{m}}\right)}$ definiert durch

${\displaystyle \left({\frac {n}{m}}\right)=\left({\frac {n}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {n}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.}$

Für ungerade ${\displaystyle p_{i}}$ ist die Zahl ${\displaystyle \left({\frac {n}{p_{i}}}\right)}$ einfach das gewöhnliche Legendre-Symbol. Der Fall ${\displaystyle p_{i}=2}$ ist getrennt zu betrachten. Wir definieren ${\displaystyle \left({\frac {n}{2}}\right)}$ durch

${\displaystyle \left({\frac {n}{2}}\right)={\begin{cases}0&{\mbox{falls }}n{\mbox{ gerade,}}\\1&{\mbox{falls }}n\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{falls }}n\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}}$

Der Faktor ${\displaystyle \left({\frac {n}{u}}\right)}$ in der Definitionsgleichung ist für ${\displaystyle u=1}$ gleich ${\displaystyle 1}$ (Jacobi-Symbol). Für ${\displaystyle u=-1}$ definiert man

${\displaystyle \left({\frac {n}{-1}}\right)={\begin{cases}-1&{\mbox{falls }}n<0,\\1&{\mbox{falls }}n\geq 0.\end{cases}}}$

Schließlich setzt man noch

${\displaystyle \left({\frac {n}{0}}\right)={\begin{cases}1&{\text{falls }}n=\pm 1,\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}}$

Durch diese Erweiterungen lässt sich das Kronecker-Symbol für alle ganzen Zahlen ${\displaystyle n,m}$ definieren.

Bei einigen Autoren wird das Kronecker-Symbol nur unter einschränkenden Voraussetzungen definiert, beispielsweise ${\displaystyle n\equiv 0,1{\bmod {4}}}$ und ${\displaystyle m>0}$.

Für ungerades ${\displaystyle m}$ stimmt das Kronecker-Symbol mit dem Jacobi-Symbol überein.

Das Kronecker-Symbol teilt – mit gewissen Einschränkungen – viele grundlegende Eigenschaften mit dem Jacobi-Symbol:

• ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\pm 1,}$ falls ${\displaystyle \mathop {\rm {ggT}} (a,n)=1}$, sonst ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=0}$.
• ${\displaystyle \left({\tfrac {ab}{n}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)\left({\tfrac {b}{n}}\right),}$ außer wenn ${\displaystyle n=-1}$ gilt und eine der Zahlen ${\displaystyle a,b}$ gleich 0 ist und die andere negativ.
• ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{mn}}\right)=\left({\tfrac {a}{m}}\right)\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$, außer wenn ${\displaystyle a=-1}$ gilt und eine der Zahlen ${\displaystyle m,n}$ gleich 0 ist und die andere einen ungeraden Anteil (siehe unten) kongruent zu ${\displaystyle 3{\bmod {4}}}$ besitzt.
• Für ${\displaystyle n>0}$ gilt ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\left({\tfrac {b}{n}}\right)}$ wenn ${\displaystyle a\equiv b{\bmod {\begin{cases}4n,&{\text{falls }}n\equiv 2{\pmod {4}},\\n&{\text{sonst.}}\end{cases}}}}$ Wenn ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ das gleiche Vorzeichen haben, gilt diese Aussage auch für ${\displaystyle n<0}$.
• Für ${\displaystyle a\not \equiv 3{\pmod {4}}}$, ${\displaystyle a\neq 0}$ gilt ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{m}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$, wenn ${\displaystyle m\equiv n{\bmod {\begin{cases}4|a|,&{\text{falls }}a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|&{\text{sonst.}}\end{cases}}}}$

Zu beachten ist, dass das Kronecker-Symbol nicht die gleiche Verbindung zum Begriff des quadratischen Rests hat wie das Jacobi-Symbol. Insbesondere kann für gerades ${\displaystyle n}$ das Kronecker-Symbol ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)}$ Werte annehmen, die unabhängig davon sind, ob ${\displaystyle a}$ ein quadratischer Rest oder Nichtrest modulo ${\displaystyle n}$ ist.

Das Kronecker-Symbol erfüllt die folgende Version des quadratischen Reziprozitätsgesetzes:

Für jede ganze Zahl ${\displaystyle n\neq 0}$ bezeichne ${\displaystyle n'}$ den ungeraden Anteil: ${\displaystyle n=2^{e}n'}$ mit ungeradem ${\displaystyle n'}$ (für ${\displaystyle n=0}$ wird ${\displaystyle n'=1}$ gesetzt). Dann gilt die folgende symmetrische Version des quadratischen Reziprozitätsgesetzes für jedes Paar von teilerfremden ganzen Zahlen ${\displaystyle m,n}$:

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=\pm (-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}}}$

Dabei gilt das Pluszeichen von ${\displaystyle \pm }$, falls ${\displaystyle m\geq 0}$ oder ${\displaystyle n\geq 0}$ zutrifft, und das Minuszeichen, falls ${\displaystyle m<0}$ und ${\displaystyle n<0}$.

Es gibt auch eine unsymmetrische Version der quadratischen Reziprozität, die für jedes Paar teilerfremder ganzer Zahlen ${\displaystyle m,n}$ richtig ist:

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{|m|}}\right)=(-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}}.}$

Für eine beliebige ganze Zahl ${\displaystyle n}$ sei ${\displaystyle n^{*}=(-1)^{(n'-1)/2}n}$. Dann gibt es eine weitere äquivalente, unsymmetrische Version, nach der

${\displaystyle \left({\frac {m^{*}}{n}}\right)=\left({\frac {n}{|m|}}\right)}$

für beliebige ganze Zahlen ${\displaystyle m,n}$ (nicht notwendig teilerfremd) gilt.

Die Ergänzungssätze lassen sich ebenfalls für das Kronecker-Symbol verallgemeinern. Diese Gesetze folgen unmittelbar aus jeder der obigen Formulierungen des quadratischen Reziprozitätsgesetzes (anders als beim Legendre-Symbol oder beim Jacobi-Symbol, bei denen sowohl das grundlegende Gesetz als auch die Ergänzungssätze benötigt werden, um die quadratische Reziprozität vollständig zu beschreiben).

Für eine beliebige ganze Zahl ${\displaystyle n}$ gilt

${\displaystyle \left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n'-1}{2}},}$

für eine beliebige ungerade ganze Zahl ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}.}$

• Eric W. Weisstein: Kronecker-Symbol. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ Leopold Kronecker, Zur Theorie der elliptischen Functionen, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Jahrgang 1885, S. 770