Eine Kugelschicht, auch Kugelscheibe genannt, ist ein Teil einer Kugel, der von zwei parallelen Ebenen ausgeschnitten wird. Der gekrümmte Flächenteil wird Kugelzone genannt.
Für die Berechnung von Volumen, Mantelfläche und Oberfläche einer Kugelschicht gelten die folgenden Formeln. Dabei bezeichnet
den Radius der Kugel,
die Radien der Begrenzungskreise und
die Höhe der Kugelschicht.
Die Höhe kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:
![{\displaystyle h={\sqrt {r^{2}-a_{2}^{2}}}\pm {\sqrt {r^{2}-a_{1}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cf4b36717fa96458741c68fbd398f4cc5b67ec6)
Hierbei gilt das Minuszeichen für eine Kugelschicht ohne Kugelmittelpunkt und das Pluszeichen für eine Kugelschicht mit Kugelmittelpunkt.
Der Radius ergibt sich wie folgt:
![{\displaystyle r={\frac {1}{2h}}{\sqrt {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+h^{2})^{2}-4a_{1}^{2}a_{2}^{2}}}={\frac {1}{2h}}{\sqrt {a_{1}^{4}+a_{2}^{4}+h^{4}-2a_{1}^{2}a_{2}^{2}+2a_{1}^{2}h^{2}+2a_{2}^{2}h^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f63a1dad5546660c25dde1d78987a696818afc8b)
|
Volumen | |
Inhalt der Mantelfläche | |
Oberfläche | |
Herleitung
Die Kugelschicht kann man sich entstanden denken als das Kugelsegment
mit dem unteren Kreis als Basiskreis, dem das Kugelsegment
mit dem oberen Kreis als Basiskreis weggenommen wird. Es sei
die Höhe von
und
die Höhe von
. Die Volumina der beiden Kugelsegmente sind
![{\displaystyle V_{1}={\frac {\pi }{3}}\cdot h_{1}^{2}\cdot (3\cdot r-h_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897e6a38f0fb423689f873b2b8a622c519c8e27a)
![{\displaystyle V_{2}={\frac {\pi }{3}}\cdot h_{2}^{2}\cdot (3\cdot r-h_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99aa1dd0b670b679ba71d9babf473574d876f215)
Siehe dazu auch Kugelsegment. Also ist
![{\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{1}-V_{2}={\frac {\pi }{3}}\cdot (3\cdot (h_{1}^{2}-h_{2}^{2})\cdot r-(h_{1}^{3}-h_{2}^{3}))\\&={\frac {\pi }{3}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot (3\cdot (h_{1}+h_{2})\cdot r-(h_{1}^{2}+h_{1}\cdot h_{2}+h_{2}^{2}))\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e9120bd3de82099000b469e75e9535cfde683a)
Mit den Beziehungen
(siehe Kugelsegment) ergibt sich
![{\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {\pi }{3}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot \left({\frac {3}{2}}\cdot (a_{1}^{2}+h_{1}^{2}+a_{2}^{2}+h_{2}^{2})-h_{1}^{2}-h_{1}\cdot h_{2}-h_{2}^{2}\right)\\&={\frac {\pi }{6}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot (3\cdot (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+(h_{1}-h_{2})^{2})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d60b4f2aae08d07e0d57c59150f9b6ee11c1fe5)
Da
ist, folgt die obige Formel:
Für die Mantelfläche ergibt sich analog
![{\displaystyle M=M_{1}-M_{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot h_{1}-2\cdot \pi \cdot r\cdot h_{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot (h_{1}-h_{2})=2\cdot \pi \cdot r\cdot h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe3522908a1cde631654b623ab660999632958e)
Beziehung der Parameter
Für den Beweis der Beziehung zwischen
sei
der Abstand der unteren Ebene zum Kugelmittelpunkt
. Dann gilt
![{\displaystyle r^{2}=d^{2}+a_{1}^{2},\ r^{2}=(d+h)^{2}+a_{2}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c8afbf8e5f6efb9874c7452798e313ee2b6d2f)
Setzt man die beiden Gleichungen gleich und löst nach
auf, so erhält man
,
und mit der ersten Gleichung folgt
![{\displaystyle r^{2}=a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121bdf800b908d3c8f2cd556458cabe7ce14df6d)
Siehe auch
- Kugelsegment
- Kugelausschnitt
- Kugelring
- Kugelkeil
Literatur
- I. Bronstein u. a.: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, Frankfurt 2001, ISBN 3-8171-2005-2.
- Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.
- L. Kusch u. a.: Mathematik, Teil 4 Integralrechnung. Cornelsen, Berlin 2000, ISBN 3-464-41304-7.
Weblinks