In der Mathematik ist eine Lambert-Reihe eine spezielle Reihe. Benannt ist sie nach Johann Heinrich Lambert.
Definition
Die Lambert-Reihe ist eine Reihe mit dieser Form:
![{\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee6616ab19deda72ea9a5156af7534a20b432a0d)
Die Lambertsche L-Funktion bilden den Spezialfall dieser Reihe mit
für alle Werte n:
![{\displaystyle L(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e741620f33873634167752461c88e9c0d95946)
Eigenschaften
Konvergenz
Für
konvergiert die Lambert-Reihe nicht. Für
konvergiert sie stets dann, wenn die Reihe
konvergiert. Konvergiert
nicht, dann konvergiert die Lambert-Reihe für alle
, für die die Potenzreihe
konvergiert (Satz von Konrad Knopp).
Lambert-Reihe als Potenzreihe
Die Lambert-Reihe kann für
in eine geometrische Reihe
![{\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bc4d620ad97bd3583b76855fdc807ba7af5f7d)
entwickelt werden, wobei sich die Koeffizienten
der neuen Reihe durch Dirichlet-Faltung von
mit der konstanten Folge
ergeben:
![{\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3decfa6aae9bbc62231b9e448dabf348296b02bf)
Setzt man
, so erhält man eine andere übliche Form der Reihe
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb96ea8a3de2139e6112d46be76b4227440acd39)
wieder mit
![{\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc73df0634cc567a4e98bbbef1bdb0a6b86dfe90)
Beispiele der Lambert-Reihe in dieser Form, mit
, treten in Ausdrücken der Riemannschen Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen auf.
Anwendung
Einige unendliche Summen können durch die Lambertsche L-Funktion dargestellt werden.[1][2]
Unendliche Summe geradstelliger Fibonacci-Zahlen (mit dem griechischen Buchstaben Phi wird die Goldene Zahl dargestellt):
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\sqrt {5}}\ \Phi ^{2n}}{\Phi ^{4n}-1}}={\sqrt {5}}\left(L\left(\Phi ^{-2}\right)-L\left(\Phi ^{-4}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d39a6be178bf7ddbbd9781a241f08369b944abe)
Unendliche Summe der Kehrwerte geradstelliger Pell-Zahlen:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2{\sqrt {2}}\left({\sqrt {2}}+1\right)^{2n}}{\left({\sqrt {2}}+1\right)^{4n}-1}}=2{\sqrt {2}}\left(L\left(\left({\sqrt {2}}-1\right)^{2}\right)-L\left(\left({\sqrt {2}}-1\right)^{4}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcfa4a42aceaec137db6bf01d9a7e9e52fd89097)
Darstellung der Erdős-Borwein-Konstante mit der Lambertschen L-Funktion:
![{\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}+1}{2^{n^{2}}\left(2^{n}-1\right)}}=L\left({\frac {1}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf06a8399818d1265824dc8198d175009876d53)
Unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der Zweierpotenzen:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}+1}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2^{n}-1}}-{\frac {2}{4^{n}-1}}\right)=L\left({\frac {1}{2}}\right)-2L\left({\frac {1}{4}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5110f847d03524c3537cbf3bca0aece302803941)
Siehe auch
- Thetafunktion
- Elliptisches Nomen
Literatur
- Eric W. Weisstein: Lambert Series. In: MathWorld (englisch).
- G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974, S. 323.
- Ravi Agarwal: Lambert series and Ramanujan. Department of Mathematics and Astronomy, Universität Lucknow (लखनऊ विश्वविद्यालय), Indien.
Einzelnachweise
- ↑ Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. In: wayback.cecm.sfu.ca. Abgerufen am 12. Mai 2023.
- ↑ Eric W. Weisstein: Erdős-Borwein Constant. In: MathWorld (englisch).