Lyndon-Hochschild-Serre-Spektralsequenz
In der Mathematik, genauer in der Gruppenkohomologie, in der homologischen Algebra und in der Zahlentheorie, ist die Lyndon-Spektralsequenz oder Hochschild-Serre-Spektralsequenz eine Spektralsequenz zur Berechnung der Kohomologie einer Gruppe mithilfe der Kohomologie einer normalen Untergruppe und der zugehörigen Quotientengruppe. Die Spektralsequenz ist eine Anwendung der Grothendieck-Spektralsequenz und wurde benannt nach Roger Lyndon, Gerhard Hochschild und Jean-Pierre Serre.
Aussage
Es sei eine Gruppe, eine normale Untergruppe, und es sei A ein -Modul. Dann gibt es eine kohomologische Spektralsequenz
und eine homologische Spektralsequenz
- ,
wobei die Pfeile "" Konvergenz von Spektralsequenzen meinen.
Fünfterm exakte Sequenz
Die zugehörige Fünfterm exakte Sequenz lautet
Beispiel
Sei die Heisenberg-Gruppe mit Einträgen aus ganzen Zahlen, d. h.
- .
Dann ist eine zentrale Erweiterung der Gruppe , mit Zentrum zugehörig zur Untergruppe mit a=c=0. Mithilfe der Spektralsequenz kann die Homologie berechnet werden[1]:
Literatur
- Roger Lyndon: The cohomology theory of group extensions. Hrsg.: Duke Mathematical Journal. 15. Auflage. 1948, ISSN 0012-7094, doi:10.1215/S0012-7094-48-01528-2.
- Gerhard Hochschild, Jean-Pierre Serre: Cohomology of group extensions. Hrsg.: Transactions of the American Mathematical Society. 74. Auflage. 1953, ISSN 0002-9947, doi:10.2307/1990851, JSTOR:1990851.
- Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt, Kay Wingberg: Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Hrsg.: Springerverlag. 2000, ISBN 978-3-540-66671-4.
- Kevin P. Knudson: Homology of Linear Groups. Hrsg.: Birkhäuser Verlag (= Progress in Mathematics). 193. Auflage. Basel 2001, ISBN 3-7643-6415-7, doi:10.1007/978-3-0348-8338-2.