Poincaré-Ungleichung

In der Analysis bezeichnet man als Poincaré-Ungleichung eine nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré benannte Ungleichung aus der Theorie der Sobolev-Räume. Die Ungleichung ermöglicht es, Schranken für eine Funktion aus Schranken der Ableitungen und der Geometrie des Definitionsbereichs herzuleiten. Solche Schranken spielen in der Variationsrechnung eine große Rolle.

Sei ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ und ${\displaystyle \Omega }$ eine beschränkte zusammenhängende offene Teilmenge des ${\displaystyle n}$-dimensionalen euklidischen Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit Lipschitz-Rand (d. h. ${\displaystyle \Omega }$ ist ein Lipschitz-Gebiet). Dann gibt es eine Konstante ${\displaystyle C}$, die nur von ${\displaystyle \Omega }$ und ${\displaystyle p}$ abhängt, so dass für jede Funktion ${\displaystyle u}$ im Sobolev-Raum ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ die Ungleichung

${\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}}$

gilt, wobei

${\displaystyle u_{\Omega }={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }u(y)\,\mathrm {d} y}$

der Mittelwert von ${\displaystyle u}$ über ${\displaystyle \Omega }$ ist, ${\displaystyle |\Omega |}$ bezeichnet das Lebesgue-Maß des Gebietes ${\displaystyle \Omega }$.

Mit Hilfe der Hölder-Ungleichung kann man zeigen, dass die ${\displaystyle L^{2}}$-Poincaré-Ungleichung aus der ${\displaystyle L^{1}}$-Poincaré-Ungleichung folgt. Allgemein: Wenn für ein Gebiet ${\displaystyle \Omega }$ die Poincaré-Ungleichung für ein ${\displaystyle p^{\prime }}$ gilt, dann gilt sie auch für alle ${\displaystyle p>p^{\prime }}$, eventuell mit einer anderen Konstanten ${\displaystyle C}$.

Sei f eine stetig differenzierbare Funktion mit Fourierreihe

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}}$,

dann ist unter Benutzung der Parsevalschen Gleichung

${\displaystyle \|f-f_{[0,2\pi ]}\|_{L^{2}[0,2\pi ]}=\sum _{n\not =0}|a_{n}|^{2}\leq \sum _{n}n^{2}|a_{n}|^{2}=\|f'\|_{L^{2}[0,2\pi ]}}$.

Für Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nichtnegativer Ricci-Krümmung (zum Beispiel nichtnegativer Schnittkrümmung) gilt die Poincaré-Ungleichung. Es gibt eine nur von der Dimension n abhängende Konstante ${\displaystyle C_{n}}$, so dass für alle ${\displaystyle p\in M,r>0,u\in W_{loc}^{2,1}(M)}$ gilt:

${\displaystyle \|u-u_{B(p,r)}\|_{L^{2}(B(p,r))}\leq C_{n}r\|\nabla u\|_{L^{2}(B(p,r))}}$ ^[1]

Bruce Kleiner bewies 2007 eine Poincaré-Ungleichung für die Cayley-Graphen endlich erzeugter Gruppen:

${\displaystyle \int _{B_{R}}\|f-f_{R}\|^{2}\leq 8\|S\|^{2}R^{2}{\frac {\|B(2R)\|}{\|B(R)\|}}\int _{B_{3R}}\|\nabla f\|^{2},}$

wobei ${\displaystyle f}$ eine stückweise glatte Funktion, ${\displaystyle f_{R}}$ ihr Mittelwert über den Ball ${\displaystyle B_{R}}$ und ${\displaystyle S}$ das den Cayley-Graphen definierende Erzeugendensystem ist. Mit Hilfe dieser Ungleichung gab er einen vereinfachten Beweis von Gromows Satz über Gruppen polynomialen Wachstums.^[2]

Für metrische Räume mit nichtnegativer Ricci-Krümmung im Sinne von Lott-Villani-Sturm wurde die schwache lokale ${\displaystyle L^{1}}$-Poincaré-Ungleichung 2012 von Rajala bewiesen.^[3]

Es gibt Verallgemeinerungen der Poincaré-Ungleichung für andere Sobolev-Räume, zum Beispiel die folgende Poincaré-Ungleichung^[4] für den Sobolev-Raum ${\displaystyle H^{\frac {1}{2}}(T^{2})}$, d. h. den Raum der Funktionen ${\displaystyle u}$ im ${\displaystyle L^{2}}$-Raum des Torus ${\displaystyle T^{2}}$, deren Fourier-Transformierte ${\displaystyle {\hat {u}}}$ die Bedingung

${\displaystyle [u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{2}}|k|{\big |}{\hat {u}}(k){\big |}^{2}<+\infty }$

erfüllt: Es gibt eine Konstante ${\displaystyle C}$, so dass für jedes ${\displaystyle u\in H^{\frac {1}{2}}(T^{2})}$ mit ${\displaystyle u}$ identisch 0 auf einer offenen Menge ${\displaystyle E\subset T^{2}}$ folgende Ungleichung gilt:

${\displaystyle \int _{\mathbf {T} ^{2}}|u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\leq C\left(1+{\frac {1}{\operatorname {cap} (E\times \{0\})}}\right)[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2},}$

wobei ${\displaystyle \operatorname {cap} (E\times \left\{0\right\})}$ die harmonische Kapazität von ${\displaystyle E\times \left\{0\right\}}$ als Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ bedeutet.

Sei ${\displaystyle 0<s<1}$ und ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$. Der Sobolev Slobodeckji-Raum ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$ ist definiert als die Menge aller Funktionen ${\displaystyle u}$, für die gilt: ${\displaystyle u\in L^{p}(\Omega )}$ und die Seminorm ${\displaystyle [u]_{s,p}}$ ist endlich. Die Seminorm ${\displaystyle [u]_{s,p}}$ wird definiert durch:

${\displaystyle [u]_{s,p}=\left(\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|u(x)-u(y)|^{p}}{|x-y|^{n+sp}}}\,dx\,dy\right)^{1/p}}$

Die Poincaré-Ungleichung in diesem Kontext kann wie folgt verallgemeinert werden:

${\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C[u]_{s,p}}$

wobei ${\displaystyle u_{\Omega }}$ der Mittelwert von ${\displaystyle u}$ über ${\displaystyle \Omega }$ ist und ${\displaystyle C}$ eine von ${\displaystyle s,p}$ und ${\displaystyle \Omega }$ abhängige Konstante darstellt. Diese Ungleichung gilt für jedes beschränkte ${\displaystyle \Omega }$.

Der Beweis folgt dem Beweis von Irene Drelichman und Ricardo G. Durán^[5]. Sei ${\displaystyle f_{\Omega }={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }f(x)\,dx}$. Durch Anwendung der Jensen-Ungleichung erhalten wir:

${\displaystyle \|f-f_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}=\left\|{\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }(f(y)-f(x))\,dx\right\|_{L^{p}}^{p}=\int _{\Omega }\left|{\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }f(y)-f(x)\,dy\right|^{p}\,dx}$

${\displaystyle \leq {\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }\int _{\Omega }|f(y)-f(x)|^{p}\,dy\,dx}$

Durch Ausnutzung der Beschränktheit von ${\displaystyle \Omega }$ und weitere Abschätzungen folgt:

${\displaystyle {\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }\int _{\Omega }|f(y)-f(x)|^{p}\,dy\,dx}$

${\displaystyle \leq {\frac {{\text{diam}}(\Omega )^{n+sp}}{|\Omega |}}\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(y)-f(x)|^{p}}{|y-x|^{n+sp}}}\,dy\,dx}$

Hieraus ergibt sich, dass die Konstante ${\displaystyle C}$ als ${\displaystyle C={\frac {{\text{diam}}(\Omega )^{{\frac {n}{p}}+s}}{|\Omega |^{\frac {1}{p}}}}}$ gegeben ist. Jedoch weist die Referenz ^[6] mit Theorem 1 darauf hin, dass dies nicht die optimale Konstante ist.

Die optimale Konstante ${\displaystyle C}$ in der Poincaré-Ungleichung wird als Poincaré-Konstante des Gebietes ${\displaystyle \Omega }$ bezeichnet. Es ist im Allgemeinen sehr schwer, die Poincaré-Konstante zu bestimmen, abhängig von ${\displaystyle p}$ und der Geometrie des Gebietes ${\displaystyle \Omega }$. Gewisse Spezialfälle sind aber behandelbar. Zum Beispiel für beschränkte, konvexe Lipschitz-Gebiete ${\displaystyle \Omega }$ mit Durchmesser ${\displaystyle d}$ ist die Poincaré-Konstante höchstens ${\displaystyle d/2}$ falls ${\displaystyle p=1}$, und höchstens ${\displaystyle d/\pi }$ falls ${\displaystyle p=2}$^[7][8] und das ist die bestmögliche nur vom Durchmesser abhängende Abschätzung für die Poincaré-Konstante. Für glatte Funktionen erhält man das als eine Anwendung der isoperimetrischen Ungleichung auf die Levelmengen der Funktion.^[9] Im Eindimensionalen ist das die Wirtinger-Ungleichung für Funktionen.

Es gibt Spezialfälle, in denen die Konstante ${\displaystyle C}$ explizit bestimmt werden kann. Zum Beispiel für ${\displaystyle p=2}$ ist bekannt, dass für das Gebiet des gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten der Länge 1 die Poincaré-Konstante ${\displaystyle C=1/\pi }$ ist (und damit kleiner als ${\displaystyle d/\pi }$ für den Durchmesser ${\displaystyle d={\sqrt {2}}}$).^[10]

1. ↑ Peter Buser: A note on the isoperimetric constant. In: Ann. Sci. École Norm. Sup., (4) 15, 1982, no. 2, S. 213—230
2. ↑ Bruce Kleiner: A new proof of Gromov’s theorem on groups of polynomial growth. In: J. Amer. Math. Soc., 23, 2010, no. 3, S. 815–829, arxiv:0710.4593
3. ↑ Tapio Rajala: Local Poincaré inequalities from stable curvature conditions on metric spaces. In: Calc. Var. Partial Differ. Equ., 44, No. 3-4, 2012, S. 477–494
4. ↑ Adriana Garroni, Stefan Müller: Γ-limit of a phase-field model of dislocations. In: SIAM J. Math. Anal., 36, 2005, no. 6, S. 1943–1964
5. ↑ Irene Drelichman, Ricardo G. Durán: Improved Poincaré inequalities in fractional Sobolev spaces. In: arXiv. 11. Mai 2017, abgerufen am 5. Mai 2024 (englisch). 
6. ↑ Jean Bourgain, Haïm Brezis, Petru Mironescu: Limiting embedding theorems for ${\displaystyle W^{s,p}}$ when s ↑ 1 and applications. In: Journal d'Analyse Mathématique. Band 87, 2002, S. 77–101, doi:10.1007/BF02868470 (englisch). 
7. ↑ Gabriel Acosta, Ricardo Durán: An optimal Poincaré inequality in ${\displaystyle L^{1}}$ for convex domains. In: Proc. Amer. Math. Soc., 132, 2004, no. 1, S. 195–202
8. ↑ L.E. Payne, Hans F. Weinberger: An optimal Poincaré inequality for convex domains. In: Arch. Rational Mech. Anal., 5, 1960, S. 286–292.
9. ↑ Nick Alger: Originals vom 3. März 2012 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/maze5.net
10. ↑ Fumio Kikuchi, Xuefeng Liu: Estimation of interpolation error constants for the P0 and P1 triangular finite elements. In: Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 196, 2007, no. 37-40, S. 3750–3758.