Polyzyklische Gruppe

Polyzyklische Gruppen sind spezielle im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppen. Sie setzen sich aus zyklischen Gruppen zusammen.

Eine Gruppe ${\displaystyle G}$ heißt polyzyklisch, falls es eine endliche Kette

${\displaystyle \{1\}=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_{n}=G}$

gibt, so dass jede Faktorgruppe ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}$ zyklisch ist. Das Symbol ${\displaystyle \vartriangleleft }$ steht dabei, wie üblich, für "ist Normalteiler in".^[1][2]

• Jede zyklische Gruppe ist polyzyklisch.
• Jede endliche, auflösbare Gruppe ist polyzyklisch, denn eine Auflösung kann zu einer solchen mit einfachen Faktoren verfeinert werden, und einfache abelsche Gruppen sind zyklisch.
• Jede überauflösbare Gruppe ist polyzyklisch, insbesondere sind endlich erzeugte nilpotente Gruppen polyzyklisch.
• Die unendliche Diedergruppe ist polyzyklisch, aber nicht nilpotent.^[3]

• Untergruppen, homomorphe Bilder und Erweiterungen polyzyklischer Gruppen sind wieder polyzyklisch.
• Polyzyklische Gruppen erfüllen die Maximalbedingung für Untergruppen, das heißt jede nicht-leere Menge von Untergruppen besitzt ein maximales Element.

Beweis: Für zyklische Gruppen ist das klar und die Maximalbedingung setzt sich auf Erweiterungen fort.

• Jede Untergruppe einer polyzyklischen Gruppe ist endlich erzeugt, denn das ist äquivalent zur Maximalbedingung.^[4]
• Jede polyzyklische Gruppe ist residuell endlich, das heißt zu jedem von 1 verschiedenen Element gibt es einen Normalteiler mit endlichem Index, der das Element nicht enthält.^[5]
• Die Frattinigruppe einer polyzyklischen Gruppe ist nilpotent.
• Ist G eine Gruppe, die eine polyzyklische Untergruppe mit endlichem Index enthält, so ist der Gruppenring ${\displaystyle K[G]}$ bzgl. eines Körpers K noethersch.^[6]

• Eine Gruppe ist genau dann polyzyklisch, wenn sie auflösbar ist und der Maximalbedingung genügt.^[7]
• Eine Gruppe G ist genau dann polyzyklisch, wenn es eine Reihe ${\displaystyle \{1\}=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_{n}=G}$ aus Normalteilern ${\displaystyle G_{i}\vartriangleleft G}$ gibt, so dass alle Faktoren ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}$ entweder eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe oder eine endliche elementar abelsche Gruppe ist.^[8]
• Die polyzyklischen Gruppen sind bis auf Isomorphie genau die auflösbaren Untergruppen der ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$, der ganzzahligen allgemeinen linearen Gruppe.^[9]

Dass auflösbare Untergruppen der ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ polyzyklisch sind, wurde bereits 1951 von Anatoli Malzew bewiesen.^[10] Der Beweis der von Philip Hall vermuteten Umkehrung gelang 1967 Louis Auslander,^[11] der Beweis konnte von Richard Swan erheblich vereinfacht werden.^[12]

Die zyklische Reihe ${\displaystyle \{1\}=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_{n}=G}$ in der Definition der polyzyklischen Gruppe ist nicht eindeutig festgelegt, wie schon das einfache Beispiel ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}\cong \mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ zeigt. Aber die Anzahl der zu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ isomorphen Faktoren hängt nicht von der zyklischen Reihe ab. Diese Anzahl heißt die Hirsch-Länge der polyzyklischen Gruppe, benannt nach K. A. Hirsch.^[13]

1. ↑ D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Seite 54
2. ↑ Peter J. Hilton: Nilpotente Gruppen und nilpotente Räume, Lecture Notes in Mathematics, Band 1053 (1981), Definition 3.19
3. ↑ Louis H. Rowen: Ring Theory II, Academic Press (1988), nach Definition 8.2.1
4. ↑ D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Satz 3.1.6
5. ↑ D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Satz 5.4.17
6. ↑ Louis H. Rowen: Ring Theory II, Academic Press (1988), nach Definition 8.2.1
7. ↑ D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Satz 5.4.12
8. ↑ D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Satz 5.4.14
9. ↑ Daniel Segal: Polycyclic Groups, Cambridge University Press (2005), ISBN 978-0-521-02394-8, Kapitel 5
10. ↑ A. I. Malcev: On some classes of infinite solvable groups, Mat. Sb. 28(70) (1951), Seiten 567–588; Amer. Math. Soc. Transl. (2) 2 (1956), Seiten 1–22
11. ↑ L. Auslander: On a Problem of Philip Hall, Annals of Mathematics (1967), Band 86, Nr. 1, Seiten 112–116
12. ↑ R. Swan: Representations of Polycyclic Groups, Proceedings of the American Mathematical Society (1967), Band 18, Seiten 573–574, siehe hier
13. ↑ D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Satz 5.4.13