Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein Quotientenmodul oder Faktormodul eine der grundlegenden Konstruktionen der Theorie der Moduln. Zu einem Modul
und einem Untermodul
ist der Quotientenmodul
das im Wesentlichen eindeutig bestimmte Ziel eines surjektiven Homomorphismus
mit Kern
.
Quotientenmoduln sind das Analogon der Begriffe Faktorraum in der Theorie der Vektorräume sowie Faktorgruppe in der Gruppentheorie.
Definition
Es sei
ein Ring. Zu einem
-(Links-)Modul
und einem Untermodul
ist der Quotientenmodul
die Menge der Äquivalenzklassen von Elementen von
nach der Äquivalenzrelation
![{\displaystyle m_{1}\equiv m_{2}\mod N\iff m_{1}-m_{2}\in N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94cdb42d697d24878979aa770fa673c6be33df55)
mit der eindeutig bestimmten Modulstruktur, für die die kanonische surjektive Abbildung
ein Homomorphismus ist:[1]
![{\displaystyle a\cdot (m+N)=am+N,\quad m\in M,a\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f608542c89efc39a3ad1c2a0c9f82185a56a78a5)
![{\displaystyle (m_{1}+N)+(m_{2}+N)=(m_{1}+m_{2})+N,\quad m_{1},m_{2}\in M.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b69c8c46e45ea3b627b0471f0c00e5bcf5a1793)
Eigenschaften
- Isomorphiesätze: Für zwei Untermoduln
eines Moduls
gilt[2]
![{\displaystyle M/(M\cap N)\cong (M+N)/N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e638cceb406c5f0bc6ca3d920a8689a14a3500bc)
- Für Untermoduln
gilt[3] ![{\displaystyle (P/N)/(Q/N)\cong P/Q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4cef225a35635c4cb065524e55e53641ddd43eb)
- Es gibt eine kanonische Entsprechung zwischen Isomorphieklassen von Monomorphismen mit Ziel
und Isomorphieklassen von Epimorphismen mit Quelle
; einem Monomorphismus
entspricht der Quotientenmodul
, einem Epimorphismus
der Untermodul
. - Ist ein Modul endlich erzeugt, oder hat er eine endliche Länge, so gilt dies auch für jeden Quotientenmodul.
- Ist
eine (unitäre, assoziative)
-Algebra, so ist
![{\displaystyle B\otimes _{A}(M/N)\cong (B\otimes _{A}M)/U;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d6125f8a10b12070efe58253868f4cae338602)
- dabei steht
für das Bild von
in
.
- Ist
ein (zweiseitiges) Ideal in
, so ist der Faktormodul
dasselbe wie der Faktorring
.
Einzelnachweise
- ↑ Kurt Meyberg: Algebra, Teil 1, Hanser-Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, Kapitel 5.1: Linksmoduln
- ↑ Kurt Meyberg: Algebra, Teil 1, Hanser-Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 5.1.7
- ↑ Kurt Meyberg: Algebra, Teil 1, Hanser-Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 5.1.8