Räumliches Tensorprodukt

Das im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete räumliche Tensorprodukt bietet die Möglichkeit, aus C*-Algebren neue zu konstruieren. Im Allgemeinen gibt es mehrere Möglichkeiten, das algebraische Tensorprodukt zweier C*-Algebren zu einer C*-Algebra zu vervollständigen; die hier behandelte C*-Norm auf dem Tensorprodukt erweist sich als minimal unter diesen Möglichkeiten, weshalb man auch vom minimalen Tensorprodukt spricht. Die hier vorgestellte Konstruktion geht auf M. Takesaki zurück.^[1]

Es seien ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ zwei C*-Algebren. Eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt ${\displaystyle A\odot B}$ ist eine Norm ${\displaystyle \alpha }$, so dass

• ${\displaystyle (A\odot B,\alpha )}$ ist eine normierte Algebra
• ${\displaystyle \alpha (s*s)=\alpha (s)^{2}}$ für alle ${\displaystyle s\in A\odot B}$

Ist ${\displaystyle \alpha }$ eine solche C*-Norm, so ist die mit ${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B}$ bezeichnete Vervollständigung eine C*-Algebra. Ist ${\displaystyle \alpha }$ eine C*-Norm, die sich für jedes Paar von C*-Algebren ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ definieren lässt, so spricht man von einem ${\displaystyle \alpha }$-Tensorprodukt.^[2]

Man kann zeigen, dass C*-Normen automatisch die Kreuznormeigenschaft haben, das heißt, es gilt ${\displaystyle \alpha (a\otimes b)=\|a\|\cdot \|b\|}$ für alle ${\displaystyle a\in A,b\in B}$.^[3]

In diesem Artikel werden mit Hilfe von Hilberträumen, auf denen die C*-Algebren operieren, mit ${\displaystyle \sigma }$ bezeichnete C*-Normen definiert, wobei das ${\displaystyle \sigma }$ wegen der verwendeten Hilberträume an spatial (deutsch: räumlich) erinnern soll.

Es seien ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ zwei C*-Algebren. Nach dem Satz von Gelfand-Neumark gibt es Hilberträume ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle K}$ und isometrische *-Homomorphismen ${\displaystyle A\rightarrow L(H)}$ und ${\displaystyle B\rightarrow L(K)}$, das heißt wir können annehmen, dass die C*-Algebren Unteralgebren der vollen Operatorenalgebra über geeigneten Hilberträumen sind. Man kann zum Beispiel die universellen Darstellungen nehmen. Man bildet nun das Hilbertraum-Tensorprodukt ${\displaystyle H\otimes K}$ und betrachtet ein Element ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i}}$ des algebraischen Tensorproduktes ${\displaystyle A\odot B}$ als Operator auf ${\displaystyle H\otimes K}$, der durch

${\displaystyle (\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i})(x\otimes y):=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x\otimes b_{i}y}$

definiert ist, wobei Wohldefiniertheit zu zeigen ist. Dann ist klar, dass die Einschränkung ${\displaystyle \sigma }$ der Operatornorm von ${\displaystyle L(H\otimes K)}$ auf ${\displaystyle A\odot B}$ eine C*-Norm ist.

Obige Konstruktion hängt zunächst von der Wahl der Hilberträume ab. Hier wird eine Formel für die räumliche Norm aufgestellt, die von den Hilberträumen unabhängig ist. Sind ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ Zustände auf ${\displaystyle A}$ bzw. ${\displaystyle B}$, so gibt es genau einen mit ${\displaystyle f\otimes g}$ bezeichneten Zustand auf ${\displaystyle A\otimes _{\sigma }B}$ mit ${\displaystyle (f\otimes g)(a\otimes b)=f(a)g(b)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ und ${\displaystyle b\in B}$, den sogenannten Produktzustand aus ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$. Für ein Element ${\displaystyle c=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i}}$ des algebraischen Tensorproduktes ${\displaystyle A\odot B}$ gilt nun

${\displaystyle \sigma (c)^{2}=\sup {\frac {(f\otimes g)(s^{*}c^{*}cs)}{(f\otimes g)(s^{*}s)}}}$

wobei das Supremum über alle Zustände ${\displaystyle f}$ von ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle g}$ von ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle s\in A\odot B}$ mit ${\displaystyle (f\otimes g)(s^{*}s)>0}$ gebildet wird^[4]. Diese Formel zeigt die Unabhängigkeit von der Wahl der Hilberträume, denn auf der rechten Seite finden sich nur Daten der abstrakten C*-Algebren und ihrem algebraischen Tensorprodukt.

Zur Bezeichnung: Im unten angegebenen Lehrbuch von Kadison und Ringrose wird ${\displaystyle A\otimes B}$ an Stelle von ${\displaystyle A\otimes _{\sigma }B}$ geschrieben, Murphy verwendet die Schreibweise ${\displaystyle A\otimes _{*}B}$.

• Sind ${\displaystyle \pi _{1}:A_{1}\rightarrow B_{1}}$ und ${\displaystyle \pi _{2}:A_{2}\rightarrow B_{2}}$ *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren, so gibt es genau einen mit ${\displaystyle \pi _{1}\otimes \pi _{2}}$ bezeichneten *-Homomorphismus ${\displaystyle A_{1}\otimes A_{2}\rightarrow B_{1}\otimes B_{2}}$, so dass ${\displaystyle \pi _{1}\otimes \pi _{2}(a_{1}\otimes a_{2})=\pi _{1}(a_{1})\otimes \pi _{2}(a_{2})}$ für alle ${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$. Sind beide ${\displaystyle \pi _{1}}$ und ${\displaystyle \pi _{2}}$ isometrisch oder *-Isomophismen, so hat ${\displaystyle \pi _{1}\otimes \pi _{2}}$ dieselbe Eigenschaft.^[5]

• Ist ${\displaystyle \alpha }$ eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt ${\displaystyle A\odot B}$, so ist ${\displaystyle \sigma \leq \alpha }$ ^[6][7]. Aus diesem Grunde wird das räumliche Tensorprodukt auch das minimale Tensorprodukt genannt, und man findet bisweilen die Schreibweise ${\displaystyle A\otimes _{\mathrm {min} }B}$.

Seien ${\displaystyle A}$ eine C*-Algebra und ${\displaystyle X}$ ein kompakter Hausdorffraum. ${\displaystyle C(X,A)}$ sei die Menge aller stetigen Funktionen ${\displaystyle X\rightarrow A}$. Für ${\displaystyle f,g\in C(X,A)}$, ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle x\in X}$ definiere:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(\lambda f)(x)&:=&\lambda \cdot f(x)\\(f+g)(x)&:=&f(x)+g(x)\\(f\cdot g)(x)&:=&f(x)\cdot g(x)\\(f^{*})(x)&:=&f(x)^{*}\\\|f\|&:=&\sup\{\|f(x)\|;\,x\in X\}\\\end{array}}}$.

Damit wird ${\displaystyle C(X,A)}$ zu einer C*-Algebra und man hat einen isometrischen Isomorphismus ${\displaystyle C(X)\otimes _{\sigma }A\rightarrow C(X,A),f\otimes a\mapsto f(\cdot )a}$.^[8]

Seien ${\displaystyle M_{n}}$ die C*-Algebra der komplexen ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen und ${\displaystyle A}$ eine C*-Algebra, die auf einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$ operiere. Weiter sei ${\displaystyle M_{n}(A)}$ die Algebra der ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen mit Einträgen aus ${\displaystyle A}$; diese operiert in üblicher Weise auf ${\displaystyle H^{n}}$, das heißt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1,1}&\ldots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\ldots &a_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1,j}x_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{n,j}x_{j}\end{pmatrix}}}$

Dadurch trägt ${\displaystyle M_{n}(A)}$ die Norm von ${\displaystyle L(H^{n})}$ und man zeigt, dass ${\displaystyle M_{n}\otimes A\cong M_{n}(A)}$, wobei ${\displaystyle (c_{i,j})_{i,j}\otimes a}$ auf ${\displaystyle (c_{i,j}\cdot a)_{i,j}}$ abgebildet wird.

• Maximales Tensorprodukt, eine weitere Tensorproduktnorm für C*-Algebren
• Nukleare C*-Algebra, C*-Algebren mit eindeutiger Tensorproduktnorm
• Eine ganz ähnliche Konstruktion führt zu einem Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren.

1. ↑ M. Takesaki: On the cross-norm of the direct product of C*-algebras, Tohoku Mathematical Journal, Band 10 (1958), Seiten 111–122
2. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, §11.3
3. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Lemma 11.3.3
4. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Satz 11.1.2 und §11.3.1
5. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Satz 11.1.3
6. ↑ Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-12-511360-9, Theorem 6.4.18
7. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Theorem 11.3.9
8. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Beispiel 11.1.7

• Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-12-511360-9
• R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1