Der Satz über rationale Nullstellen (auch rationaler Nullstellentest oder Lemma von Gauß) ist eine Aussage über die rationalen Nullstellen ganzzahliger Polynome. Sie beinhaltet ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer rationalen Nullstelle und liefert dabei eine endliche Menge rationaler Zahlen, in der alle rationalen Nullstellen enthalten sein müssen.
Aussage
Für jede rationale Nullstelle eines ganzzahligen Polynoms gilt, dass der Zähler ihrer gekürzten Darstellung das Absolutglied und der Nenner den Leitkoeffizienten des Polynoms teilt.
Seien also
mit
ein Polynom vom Grad
und
(wobei
teilerfremd sind) eine rationale Nullstelle von
, dann ist
durch
teilbar und
durch
teilbar.
Verallgemeinerung und Beweis
Der Satz über rationale Nullstellen ergibt sich auch als Korollar zu einer auf Gauß zurückgehenden allgemeineren Aussage über Polynome über dem Quotientenkörper eines faktoriellen Ringes (siehe Lemma von Gauß).[1] Dieses Korollar lässt sich folgendermaßen formulieren: Sei
ein faktorieller Ring und
der Quotientenkörper von
. Sei
ein Polynom vom Grad
und einer Nullstelle
mit maximal gekürzten
. Dann teilt
den ersten und
den letzten Koeffizienten, also gilt:
und
.
Beweis
Es gilt:
![{\displaystyle 0=f(\alpha )=f\left({\frac {a}{b}}\right)=a_{n}{\frac {a^{n}}{b^{n}}}+a_{n-1}{\frac {a^{n-1}}{b^{n-1}}}...+a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece297348f4359ba2919b0d5ab98028c846cfc2c)
Multiplikation mit
ergibt:
![{\displaystyle 0=f(\alpha )\cdot b^{n}=a_{n}a^{n}+a_{n-1}a^{n-1}b+...+a_{1}a\,b^{n-1}+a_{0}b^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5950266115492546821080ea9a40b8227d63e60b)
Nun teilt
, da
und
teilerfremd und somit auch
und
. Damit existiert ein
mit
. Somit:
![{\displaystyle -bra^{n}=b\cdot (a_{n-1}a^{n-1}+...+a_{1}ab^{n-2}+a_{0}b^{n-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c800ed3b495e47cb7ecad9ae9a2e04e7c9f5f4fe)
![{\displaystyle \implies -ra^{n}=a_{n-1}a^{n-1}+...+a_{1}ab^{n-2}+a_{0}b^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b29ca859dd68a09e41f846b821f7d737337cb9cd)
![{\displaystyle \implies a_{0}b^{n-1}=a\cdot (-ra^{n-1}-a_{n-1}a^{n-2}-...-a_{1}b^{n-2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90402f3b065f1a1486f4af85c9eb38af86fb27ba)
Da
und
teilerfremd sind, folgt nun also auch
.
Alternativer Beweis mit dem Satz von Gauß
Nach Division mit dem größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten des Polynoms erhalten wir ein primitives Polynom
, welches die gleichen Nullstellen wie
besitzt. Da
, teilt also
in
, somit aber auch
. Da aber nun
primitiv, teilt
auch
in
nach dem Lemma von Gauß, also existiert ein Polynom
, sodass:
![{\displaystyle {\tilde {f}}(X)=h(x)\cdot g(X)=(c_{m}X^{m}+...+c_{1}X+c_{0})\cdot (bX-a)=bc_{m}X^{m+1}+...+ac_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb7514b28e39281638c6598e45863d4f846198d)
Damit folgt die Aussage, da
.
Anmerkungen
Wenn der Leitkoeffizient
des Polynoms den Betrag 1 besitzt, dann ist jede rationale Nullstelle eine ganze Zahl, die das Absolutglied
teilt.[Note 1]
Der Satz lässt sich auch verwenden, um die rationalen Nullstellen rationaler Polynome zu berechnen. Denn wenn man ein rationales Polynom mit einem gemeinsamen Vielfachen der Nenner seiner Koeffizienten multipliziert, so erhält man ein ganzzahliges Polynom mit den gleichen Nullstellen, zu deren Bestimmung man nun den rationalen Nullstellentest anwenden kann.
Beispiele
- Aus dem rationalen Polynom
erhält man durch Multiplikation mit 30 das ganzzahlige Polynom
. Dessen rationale Nullstellen müssen dann in der Menge
enthalten sein. Überprüft man nun alle diese Kandidaten durch Einsetzen in
oder
, so erhält man als Nullstellen
, 1 und
. Da
als Polynom vom Grad 3 maximal drei paarweise verschiedene Nullstellen besitzen kann, existieren in diesem Fall auch keine weiteren irrationalen Nullstellen. - Das Polynom
besitzt keine rationale Nullstelle, da 1 und −1 die einzigen Teiler des Absolutglieds und des Leitkoeffizienten sind und
und
ist. - Das Polynom
besitzt ganzzahlige Koeffizienten.
Die Überprüfung für die Teiler
des konstanten Gliedes ergibt sich die Nullstelle
.
Weil jede ganze Zahl
auch eine gaußsche Zahl
ist, lassen sich die Koeffizienten als gaußsche Zahlen interpretieren.
Wegen
erhalten wir für die Teiler
des konstanten Gliedes die komplexen Nullstellen
und ![{\displaystyle (1-\mathrm {i} )~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c8991ac3e0058f6358ba7f5d8c2b05d08476ed)
Literatur
- Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Springer, 6. Auflage 2006, ISBN 3-540-41850-4, S. 64 (Auszug in der Google-Buchsuche)
- Rolf Walter: Einführung in die Analysis 1. Walter de Gruyter 2007, ISBN 978-3-11-019539-2, S. 110–111, 362 (Auszug in der Google-Buchsuche)
- Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3. überarbeitete Auflage 1990, ISBN 0-673-38638-4, S. 216–221
- Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: The historical roots of elementary mathematics. Dover Courier Publications, 1998, ISBN 0-486-25563-8, S. 116–117 (Auszug in der Google-Buchsuche)
Weblinks
- Winfried Kaballo: Analysis I. Vorlesungsskript, Wintersemester 2006/2007, S. 44, Kapitel Polynome und Nullstellen, Satz 9.11; Kapitel 9 (Memento vom 19. Juli 2007 im Internet Archive) (PDF)
- The Rational Roots Test auf purplemath.com
- Eric W. Weisstein: Rational Zero Theorem. In: MathWorld (englisch).
Fußnote(n)
- ↑ Ist aber
dann hat das Polynom nach der Normierung (Division durch den Leitkoeffizienten) rationale Koeffizienten. Die nicht verschwindenden unter ihnen lassen sich in eindeutiger Weise in ein Produkt
von Primfaktoren mit ganzzahligen (auch negativen) Exponenten
zerlegen. Nun lässt sich ein
so finden, dass nach einer linearen Transformation
im transformierten und normierten Polynom ![{\displaystyle f^{\star }(y)=f(q\,y)\;q^{-n}=y^{n}+a_{n-1}^{\star }y^{n-1}+\dotsb +a_{1}^{\star }y+a_{0}^{\star }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4caf3564fedaa8ea1a2ec7f883f59a06a8d321a)
alle Koeffizienten
ganzzahlig sind. Man nehme nur
mit
als der endlichen Menge der in den nicht-verschwindenden Koeffizienten
vorkommenden Primfaktoren und
(Gaußklammer
).
Im genannten Beispiel
normiert:
erhält man auf diese Weise
und das ganzzahlige Polynom
(welches
als Nullstellen hat).
- ↑ Marco Hien: Algebra. Springer-Verlag, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63777-7, doi:10.1007/978-3-662-63778-4.